Der Gottesbeweis

[Juergen]

Wenn Du es die Naturwissenschaften als eine Form der Geschichtswissenschaften auffassen willst, dann brauchen wir nicht weiter zu reden.

[Heinrich II]

Du hast das Prinzip der vollständigen Induktion nicht richtig verstanden.

Doch, habe ich. Du aber nicht:

Ich versuche nochmal es Dir zu erklären. Vorweg noch zwei Fragen:
1. Ziehst Du die Möglichkeit, dass Du irrst in Betracht oder hältst Du Dich für unfehlbar (in dieser Frage)?
2. Würdest Du einen Fehler Deinerseits auch hier öffentlich eingestehen?

(Solltest Du mir einen Fehler nachweisen, werde ich das jedenfalls selbstverständlich anerkennen.)

Also: Wenn man eine Dominosteinreihe der endlichen Länge N hat, dann bedarf diese Dominosteinreihe eines Anstoßes von außen, um in Bewegung zu geraten. Fügt man dieser Dominosteinreihe an beiden Enden jeweils einen weiteren Dominostein hinzu, dann ändert das nichts daran, dass die nun verlängerte Dominosteinreihe ebenfalls eines Anstoßes von außen bedarf, um in Bewegung zu geraten.

Ich will aber nichts links oder rechts hinzufügen. Hinzufügen ist ja immer nur der Übergang von einer n-elementigen Menge (von Dominosteinen) zu einer Menge mit n+1 (bzw. n+2) Elementen. Vielmehr sei meine unendliche Dominosteinreihe bereits gegeben. Genauer sei zu jeder ganzen Zahl ein Dominostein gegeben. Ich beobachte in dieser unendlichen Reihe von Dominosteinen nun, dass der Stein k in Z (Z = Menge der ganzen Zahlen) von dem Stein k-1 angestossen wird. Ich kann nun suchen soviel ich will, in dieser Reihe werden ich keinen Stein finden, der unbewegt ist. Jeder wird von seinem Vorgänger angestossen.

Findest Du Deinen Fehler?

Dein Fehler ist: Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar unendlich viele, die ganzen Zahlen aber schon.

Vollkommen richtig. Es gibt "verschieden große Uendlichkeiten". Trotzdem funktioniert Dein Beweis nicht. Mein Gegenbeispiel bleibt ein Gegenbeispiel. Wenn Du möchtest kann ich es aber so umformulieren:

3. Ein Beispiel für Deine falsche Anwendung der Induktion.
Behauptung: "Jede Teilmenge ganzer Zahlen hat ein kleinstes Element.(*)"
"Induktionsbeweis": Für einelementige Mengen ist dies wahr. Sei nun eine Menge mit n Elementen gegeben und sei x0 deren kleinstes Element. Durch Hinzufügen eines weiteren Elements x1 ist nun entweder dieses das Kleinste, oder x0 bleibt das Kleinste. Damit hat auch jede Menge mit n+1 Elementen ein kleinstes Element. Dies kann ich ins Unendliche iterieren, folglich hat jede Teilmenge ganzer Zahlen ein kleinstes Element.

Dieser Beweis ist aber falsch. Denn die ganzen Zahlen haben kein kleinstes Element.

Findest Du jetzt Deinen Fehler?

(*) Das kleinste Element könnten wir dann unbewegten Beweger nennen.

PS: Zu den Peano-Axiomen (http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome):

5. Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Das letzte Axiom heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat.

Die ganzen Zahlen haben nunmal kein kleinstes Element. Induktion auf Z funktioniert also nur als zwei Induktionen auf N und auf -N. Wobei N ein kleinstes Element hat, und -N ein größstes (aber hier gehe ich ja auch in die andere Richtung).

[Heinrich II]

Kurt Gödel hat übrigens einen ontologischen Gottesbeweis formuliert.

Im Falle von Gödels Beweis ist dies alles versucht worden. Allerdings blieben die Versuche, dem unbestritten herausragendsten Logiker des 20. Jahrhunderts einen Fehlschluss nachzuweisen, zaghaft und nur andeutend.

Den Beweis würde ich gerne mal lesen.

Ich halte Gödel in der Tat für einen herausragenden Logiker, und glaube deswegen gerne, dass der Beweis keinen Fehlschluss hat. (Auch wenn man da in seiner späten Zeit wohl vorsichtig sein muss, denn wikipedia sagt: Neben wenigen weiteren Bekanntschaften vereinsamte Gödel aber in den 1940er- und 1950er-Jahren aufgrund seiner fortschreitenden psychischen Krankheit – vorwiegend Paranoia, vor allem die Angst, durch Essen vergiftet zu werden – immer mehr. ... 1970 versuchte er zum letzten Mal zu publizieren. Die Schrift musste jedoch zurückgenommen werden, da er aufgrund der Wirkung von Psychopharmaka viele Fehler einfach übersehen hatte. - Es zeigt sich doch, dass große mathematische Denker oft anfällig für psychische Krankheiten sind. Siehe auch z.B, John Nash.)

Entscheidender scheint mir wieder die Frage nach den Voraussetzungen zu sein. Es heißt ja auch schon in dem von Dir verlinkten Artikel:
Das bedeutet insbesondere, dass wir eine Antwort auf die Frage benötigen, ob die Menge der Vollkommenheiten konsistent ist – das alte Leibnizsche Problem, dessen Lösung Gödel voraussetzt.

Aber wir sollten erstmal Deine "Induktion" klären.

[Sempre]

Wenn Du es die Naturwissenschaften als eine Form der Geschichtswissenschaften auffassen willst, dann brauchen wir nicht weiter zu reden.

Ich stimme Dir zu, dass die Quantenmechanik zumindest einstweilen aus naturwissenschaftlicher Sicht in gewisser Weise nicht gänzlich befriedigend erscheint. In anderer gewisser Weise ist sie das aber in hohem Maße, wie Du selbst bereits zitiert hattest: theory.gsi.de / Physics FAQ. Es verhält sich nicht so, dass die Quantenmechanik nicht gute brauchbare und präzise Vorhersagen ermöglicht, darunter auch solche, von denen die moderne Technik abhängt.

Das aber betrifft alles nicht den Punkt hier: Determinismus verlangt lediglich, dass spätere Ereignisse kausal von früheren Ereignissen abhängen. Ob bzw. wann irgendjemand erkennt, dass es sich so verhält, spielt keine Rolle.

[Juergen]

Diese Definition von Determinismus halte ich für falsch.

Dich klinke mich damit aus der Diskussion aus, da wir uns wohl nie auf die gleiche Verständnis von bestimmten Begriffen einigen werden. Diskussionen funktionieren mit Sprache und Begriffen. Wenn man aber das Verständnis jeden Begriffs erst x-mal abklären muß, ist hier keine vernünftige Diskussion möglich.

[Sempre]

@Heinrich II

Ontologische Gottesbeweise sind grundsätzlich problematisch. Ich erwähnte den Gödelschen nur, weil Du die These vorgeschlagen hast, die Existenz Gottes sei im Sinne Gödels unentscheidbar.

Gödels Beweis findest Du, indem Du nach Kirchner Gödel Gottesbeweis googelst. Gibt es als PDF irgendwo auf http://www.unet.univie.ac.at, dargelegt von Andreas Kirchner.

Aber wir sollten erstmal Deine "Induktion" klären.

Dazu kurz ein Vorschlag:

1.) Deine Argumentation von wegen geht nur bei natürlichen Zahlen nicht aber bei ganzen Zahlen, ist widerlegt. Sie geht außerdem an der Sache vorbei. Denn der Ausschluss des infiniten Regress per vollständiger Induktion bedarf bloß der natürlichen Zahlen.

2.) Deine neue Argumentation nach dem Motto: Ich stelle eine falsche Anwendung der vollständigen Induktion vor, also ist Sempres Anwendung auch falsch, hättest Du gleich von Anfang an bringen können, ganz ohne die Ganzen Zahlen ins Spiel zu bringen: "Jede Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein größtes Element."

Um viel sinnloses Geschreibe zu vermeiden, sollten wir uns einigen, dass es tatsächlich nur um natürliche Zahlen geht und dass Dein Einwand nun lautet: Per falsch angewendeter vollständiger Induktion könnte man auch "Jede Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein größtes Element" beweisen, was offenbar Unfug ist. Außerdem ist Sempres Anwendung der vollständigen Induktion auf Dominosteine in vergleichbarer Weise falsch.

Was meinst Du dazu?

[Heinrich II]

@Heinrich II
Ontologische Gottesbeweise sind grundsätzlich problematisch. Ich erwähnte den Gödelschen nur, weil Du die These vorgeschlagen hast, die Existenz Gottes sei im Sinne Gödels unentscheidbar.
Gödels Beweis findest Du, indem Du nach Kirchner Gödel Gottesbeweis googelst. Gibt es als PDF irgendwo auf http://www.unet.univie.ac.at, dargelegt von Andreas Kirchner.

Danke. Werde ich mir sobald ich Zeit finde mal anschauen.

Aber wir sollten erstmal Deine "Induktion" klären.

Dazu kurz ein Vorschlag:
1.) Deine Argumentation von wegen geht nur bei natürlichen Zahlen nicht aber bei ganzen Zahlen, ist widerlegt.

Ich gestehe gerne zu, dass ich mich in diesem Punkt unpräzise (und damit falsch) ausgedrückt habe. Für die ganzen Zahlen muss man zwei Induktionen auf N und auf -N (N = Menge der natürlichen Zahlen) durchführen, grundsätzlich scheidet der Induktionsbeweis aber nicht aus.

Denn der Ausschluss des infiniten Regress per vollständiger Induktion bedarf bloß der natürlichen Zahlen.

Diesen Beleg für den Ausschluss bist Du bisher schuldig geblieben. Und ich bezweifle immer noch, dass Du ihn bringen kannst, lasse ich mich aber gerne eines Besseren belehren.

Die mögliche Existenz meines Beispiels
Vielmehr sei meine unendliche Dominosteinreihe bereits gegeben. Genauer sei zu jeder ganzen Zahl ein Dominostein gegeben. Ich beobachte in dieser unendlichen Reihe von Dominosteinen nun, dass der Stein k in Z (Z = Menge der ganzen Zahlen) von dem Stein k-1 angestossen wird. Ich kann nun suchen soviel ich will, in dieser Reihe werden ich keinen Stein finden, der unbewegt ist. Jeder wird von seinem Vorgänger angestossen.

.... -> -2 -> -1 -> -> 1 -> 2 -> ....
konntest Du bisher nicht widerlegen.

2.) Deine neue Argumentation nach dem Motto: Ich stelle eine falsche Anwendung der vollständigen Induktion vor, also ist Sempres Anwendung auch falsch, hättest Du gleich von Anfang an bringen können, ganz ohne die Ganzen Zahlen ins Spiel zu bringen: "Jede Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein größtes Element."

Ich stelle nicht irgendeine falsche Anwendung vor, sondern Deine falsche Anwendung.
(Und ich habe diesen deswegen auf die Aussage "Jede Teilmenge ganzer Zahlen hat ein kleinstes Element." bezogen, weil dieses kleinstes Element ohne Vorgänger dann ein Analogon zum unbewegten Erstbeweger wäre.)

Um viel sinnloses Geschreibe zu vermeiden, sollten wir uns einigen, dass es tatsächlich nur um natürliche Zahlen geht und dass Dein Einwand nun lautet: Per falsch angewendeter vollständiger Induktion könnte man auch "Jede Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein größtes Element" beweisen, was offenbar Unfug ist. Außerdem ist Sempres Anwendung der vollständigen Induktion auf Dominosteine in vergleichbarer Weise falsch.

Was meinst Du dazu?

Meinen Einwand hast Du treffend beschrieben.

Trotzdem würde ich wegen des besseren Verständnisses gerne meine Dominosteinkette weiterhin mit den ganzen Zahlen durchnummerieren. (Wohl wissend, dass es eine eineindeutige Abbildung von den natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen gibt.)

Noch einmal grundsätzlich die Frage:
Ziehst Du die Möglichkeit, dass Du irrst in Betracht?

[Sempre]

Vielmehr sei meine unendliche Dominosteinreihe bereits gegeben. Genauer sei zu jeder ganzen Zahl ein Dominostein gegeben. Ich beobachte in dieser unendlichen Reihe von Dominosteinen nun, dass der Stein k in Z (Z = Menge der ganzen Zahlen) von dem Stein k-1 angestossen wird. Ich kann nun suchen soviel ich will, in dieser Reihe werden ich keinen Stein finden, der unbewegt ist. Jeder wird von seinem Vorgänger angestossen.

.... -> -2 -> -1 -> 0 -> 1 -> 2 -> ....

Du setzt bereits voraus, dass die Dominosteine in Bewegung sind. Wir diskutieren hier aber, ob die Reihe überhaupt in Bewegung (geraten) sein kann. Wenn Du voraussetzt, dass die Dominosteinreihe in Bewegung ist, dann behandelst Du nicht die Fragestellung, um die es geht: Kann die Dominosteinreihe überhaupt in Bewegung sein, ohne dass sie angestoßen wurde, obwohl ausnahmslos jeder Stein in der Reihe passiv ist und keiner der Steine von selbst in Bewegung gerät.



Hier eine systematische Herangehensweise, die die Frage klärt, ob es "Deine" bereits bewegte Dominosteinreihe überhaupt geben kann:

Wir untersuchen Dominosteinreihen der Länge 1, 2, 3 ... oo und wollen beweisen, dass sämtliche solche Dominosteinreihen nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten können. Um nicht unendlich viele Fälle einzeln behandeln zu müssen, wählen wir als Beweisverfahren die Vollständige Induktion:

1. Induktionsanfang: Eine Dominosteinreihe der Länge 1 kann nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten. Begründung: Der Dominostein bewegt sich nicht von selbst. Wegen der Trägheit verharrt er ohne Anstoß von außen in Ruhe.

2. Induktionsschritt: Beim Induktionsschritt ist zu zeigen, dass eine Dominosteinreihe der Länge N+1 nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Dabei darf als gegeben vorausgesetzt werden, dass eine Dominosteinreihe der Länge N nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Eine Dominosteinreihe der Länge N+1 kann nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten. Begründung: Wir können als gesichert voraussetzen, dass eine Dominosteinreihe der Länge N nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Alle N Steine bleiben ohne Anstoß in Ruhe. Fügt man einer Dominosteinreihe der Länge N nun einen weiteren Stein hinzu, so kann die verlängerte Dominosteinreihe nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten, da weder der neue Stein von selbst in Bewegung gerät, noch einer der zuvor bereits vorhandenen N Steine.

Damit ist mathematisch einwandfrei bewiesen, dass eine Dominosteinreihe beliebiger endlicher oder unendlicher Länge nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Ansonsten wurde lediglich vorausgesetzt, dass einzelne Dominosteine nicht von selbst in Bewegung geraten.

Bitte beachten: Der Beweis beweist, was zu beweisen ist, für drei Arten von unendlich langen Dominosteinreihen: 1.) mit Anfang ohne Ende 2.) ohne Anfang mit Ende 3.) ohne Anfang und ohne Ende. Denn beim Induktionsschritt können die neuen Steine nur hinten, nur vorne oder abwechselnd hinten und vorne angefügt werden.


Natürlich kann ich irren. Ich fühle mich aber aus verschiedenen Gründen sehr sicher. Also weise bitte einen Fehler nach, anstatt unausgereifte Parallelüberlegungen zu bringen. Ich bessere ggf. nach oder gebe ggf. auch gerne einen Irrtum zu.

Vollständige Induktion funktioniert nur auf den natürlichen Zahlen. Man benötigt die Peano-Axiome, welche explizit fordern, dass es ein Element ohne Vorgänger gibt.

Das war ein Einwand, der nicht zieht. Der Beweis benutzt nur die natürlichen Zahlen (und gilt dennoch auch für Dominosteinreihen ohne Anfang und ohne Ende, obwohl das nicht einmal nötig wäre, um den regressus ad infinitum sicher auszuschließen).

Behauptung: "Jede Teilmenge ganzer Zahlen hat ein kleinstes Element." [---"Induktionsbeweis"---]

1.) Dein Induktionsbeweis übersieht die leere Menge. Er beweist nicht, dass die leere Menge ein kleinstes Element hat. Du müsstest Deine Behauptung geeignet abändern.
2.) Dass es bei der "Menge aller Mengen, die ..." so allerlei Fallstricke zu beachten gibt, ist bekannt. Welcher das jetzt hier genau sein mag, kann ich auf Anhieb auch nicht sagen. Jedenfalls ist nicht einsichtig, was das mit dem oben angegebenen Induktionsbeweis zu tun haben soll.

[Sempre]

Diese Definition von Determinismus halte ich für falsch.

Warum die obskurantistische, antiwissenschaftliche Annahme des Indeterminismus die Abdankung des menschlichen Verstandes bedeutet. Erklärt in dreieinhalb Minuten von "Naturalisten Weltsichtgemeinschaft":

http://www.youtube.com/v/Hta-ls0WDVI?version=3&hl=de_DE

[Reinhard]

1. Induktionsanfang: Eine Dominosteinreihe der Länge 1 kann nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten. Begründung: Der Dominostein bewegt sich nicht von selbst. Wegen der Trägheit verharrt er ohne Anstoß von außen in Ruhe.

2. Induktionsschritt: Beim Induktionsschritt ist zu zeigen, dass eine Dominosteinreihe der Länge N+1 nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Dabei darf als gegeben vorausgesetzt werden, dass eine Dominosteinreihe der Länge N nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Eine Dominosteinreihe der Länge N+1 kann nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten. Begründung: Wir können als gesichert voraussetzen, dass eine Dominosteinreihe der Länge N nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Alle N Steine bleiben ohne Anstoß in Ruhe. Fügt man einer Dominosteinreihe der Länge N nun einen weiteren Stein hinzu, so kann die verlängerte Dominosteinreihe nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten, da weder der neue Stein von selbst in Bewegung gerät, noch einer der zuvor bereits vorhandenen N Steine.

Hier legst Du einen astreinen Zirkelschluss vor: Du "beweist" das, was Du zuvor axiomatisch vorausgesetzt hast !

Damit ist mathematisch einwandfrei bewiesen, dass ....

Eben nicht !
Einzig und allein ist damit bewiesen, dass das Axiom, das Du zuvor, dankenswerterweise einmal ausdrücklich, eingeführt hast, hinten wieder heraus kommt.

Du schaffst ganz sicher weder Klarheit noch neue Erkenntnisse, indem Du der exakten Beweisführung von Heinrich II einfach populärwissenschaftliches Gewusel entgegen setzt !

Im Übrigen hast Du bisher weder die oben von Heinrich II vorgelegte Beweisführung widerlegt, noch darin einen Fehler aufgezeigt.

[Heinrich II]

Nachdem ich gestern nochmal kurz über Sempres "Beweis" nachgedacht habe, kann ich jetzt auch genau sagen worin der Fehler besteht. In seinem letzten ausführlichen Beweis steht er auch erstmals explizit drin.

Wie funktioniert vollständige Induktion?
- Wir können damit Behauptungen der folgenden Form beweisen:
"Für alle natürlichen Zahlen n gilt die Aussage A(n)."
Der Beweis verläuft nun in zwei Etappen:
1. Induktionsanfang: Die Aussage ist für n=1 wahr. D.h. zu zeigen ist, dass A(1) wahr ist.
2. Induktionsschritt: Wenn A(n) wahr ist, dann muss auch A(n+1) wahr sein.

Aus 1. + 2. folgt dann, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen wahr ist.

Für A(n) kann man z.B. die Aussage betrachten
i) A(n) = "Jede umfallende Dominosteinreihe *der Länge n* braucht einen äußeren Anstoss." oder
ii) A(n) = "Jede *n-elementige* Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein größstes Element."

Sempres Beweis - angewendet auf (i) - und meine Abwandlung darauf auf (ii) sind in Induktionsanfang und Schritt korrekt und beweisen:
I) Jede endliche Reihe von Dominosteinen bedarf eines ersten Anstosses. (Egal, ob deren Länge nun 2, 42, 23456 oder einer anderen natürlichen Zahl entspricht.
II) Jede endliche (*) nichtleere (!) Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein größstes Element.

Dies ist bewiesen, aber nicht mehr! Unendlich oo ist *keine* natürliche Zahl. Der Induktionsbeweis behandelt zwar die unendlich vielen endlichen Dominosteinketten (endlichen Teilmengen) aber *nicht* Dominosteinketten unendlicher Länge. Diese Unterscheidung ist wichtig und wurde von Sempre übersehen.

Noch einmal anders gesagt: Aus einem Induktionsbeweis folgt nur "A(n) gilt für alle natürlichen Zahlen" aber niemals "A(oo)".

(*) Editiert: Das Wort "endlich" sollte natürlich von Anfang an da stehen....

[Sempre]

1. Induktionsanfang: Eine Dominosteinreihe der Länge 1 kann nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten. Begründung: Der Dominostein bewegt sich nicht von selbst. Wegen der Trägheit verharrt er ohne Anstoß von außen in Ruhe.

2. Induktionsschritt: Beim Induktionsschritt ist zu zeigen, dass eine Dominosteinreihe der Länge N+1 nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Dabei darf als gegeben vorausgesetzt werden, dass eine Dominosteinreihe der Länge N nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Eine Dominosteinreihe der Länge N+1 kann nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten. Begründung: Wir können als gesichert voraussetzen, dass eine Dominosteinreihe der Länge N nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten kann. Alle N Steine bleiben ohne Anstoß in Ruhe. Fügt man einer Dominosteinreihe der Länge N nun einen weiteren Stein hinzu, so kann die verlängerte Dominosteinreihe nicht ohne Anstoß in Bewegung geraten, da weder der neue Stein von selbst in Bewegung gerät, noch einer der zuvor bereits vorhandenen N Steine.

Hier legst Du einen astreinen Zirkelschluss vor: Du "beweist" das, was Du zuvor axiomatisch vorausgesetzt hast !

Beim Induktionsschritt wird gezeigt, dass die Aussage A(N+1) zutrifft. Dabei darf vorausgesetzt und verwendet werden, dass die Aussage A(N) zutrifft.

Damit ist mathematisch einwandfrei bewiesen, dass ....

Eben nicht !

Eben doch!

Tipp: wikipedia:Vollständige Induktion

[Sempre]

Dies ist bewiesen, aber nicht mehr! Unendlich oo ist *keine* natürliche Zahl. Der Induktionsbeweis behandelt zwar die unendlich vielen endlichen Dominosteinketten (endlichen Teilmengen) aber *nicht* Dominosteinketten unendlicher Länge. Diese Unterscheidung ist wichtig und wurde von Sempre übersehen.

Noch einmal anders gesagt: Aus einem Induktionsbeweis folgt nur "A(n) gilt für alle natürlichen Zahlen" aber niemals "A(oo)".

Der Induktionsbeweis beweist die Aussage für Dominosteinreihen beliebiger natürlicher Länge.

Frage: Wieviele natürliche Zahlen gibt es?
Antwort: unendlich viele!

Frage: Gibt es eine Dominosteinreihe, deren Länge keine natürliche Zahl ist?
Antwort: Nein, die Länge einer jeden Dominosteinreihe ist natürlich.


A(oo) ist keine übersichtliche Schreibweise. Es muss übersichtlicherweise heißen:

lim_N->oo A(N)

Der Induktionsbeweis beweist auch diesen Grenzfall.

[Sempre]

Der Induktionsbeweis behandelt zwar die unendlich vielen endlichen Dominosteinketten

Das ist Nonsens. Es gibt nur endlich viele unterschiedlich lange Dominosteinreihen, deren Längen endlich sind. Das müsste eigentlich unmittelbar einleuchten.

[Juergen]

Habe ich jetzt richtig verstanden, wie die vollständigen Induktion abläuft?

Behauptung: alle Natürlichen Zahlen größer als eins sind Primzahlen

Die erst Zahl (n) ist die Zwei → Primzahl
die nächste Zahl (n+1) ist die Drei → Primzahl

Ergo: alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

[Heinrich II]

Habe ich jetzt richtig verstanden, wie die vollständigen Induktion abläuft?

Behauptung: alle Natürlichen Zahlen größer als eins sind Primzahlen

Die erst Zahl (n) ist die Zwei → Primzahl
die nächste Zahl (n+1) ist die Drei → Primzahl

Ergo: alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

Nein, so funktioniert das natürlich nicht. Der Schritt muss für jedes n funktionieren. Also für ein allgemeines n, von dem man nicht weiß welche Zahl es genau ist. Von 3 auf 4 scheitert es hier natürlich.

[Heinrich II]

Der Induktionsbeweis behandelt zwar die unendlich vielen endlichen Dominosteinketten

Das ist Nonsens. Es gibt nur endlich viele unterschiedlich lange Dominosteinreihen, deren Längen endlich sind. Das müsste eigentlich unmittelbar einleuchten.

Nonsens ist leider Deine Äußerung. Wie lang ist denn dann die längste dieser (angeblich nur) endlich vielen endlich langen Ketten?
Auch wenn Du es noch nicht verstanden hast: Es gibt unendlich viele verschieden lange endliche Dominosteinketten. Eine der Länge 1, eine der Länge 2, eine der Länge 3, 4, 5, usw.
Zu jeder natürlichen Zahl, von denen es ja unendlich viele gibt, eine.

Deine Behauptung per Induktion könne man eine Behauptung der Form
lim(n -> oo) A(n) beweisen ist grober Unfug. Erstens ist schon mal die Limes-Schreibweise in diesem Zusammenhang sinnfrei. Davon abgesehen ist die Induktion auf die nat. Zahlen beschränkt. Du kannst beliebig oft Deinen Induktionsschritt von n nach n+1 vollziehen und wirst doch nie die nat Zahlen verlassen.
Aussagen über oo-lange Ketten kannst Du nicht herleiten.

[Sempre]

Der Induktionsbeweis behandelt zwar die unendlich vielen endlichen Dominosteinketten

Das ist Nonsens. Es gibt nur endlich viele unterschiedlich lange Dominosteinreihen, deren Längen endlich sind. Das müsste eigentlich unmittelbar einleuchten.

Nonsens ist leider Deine Äußerung. Wie lang ist denn dann die längste dieser (angeblich nur) endlich vielen endlich langen Ketten?

Na, endlich lang. Endlich lange Ketten sind endlich lang.

Auch wenn Du es noch nicht verstanden hast: Es gibt unendlich viele verschieden lange endliche Dominosteinketten. Eine der Länge 1, eine der Länge 2, eine der Länge 3, 4, 5, usw.
Zu jeder natürlichen Zahl, von denen es ja unendlich viele gibt, eine.

Falsch. Es gibt nur endlich viele unterschiedlich lange Dominosteinreihen, deren Längen endlich sind.

Frage: Wieviele endliche Zahlen enthält die Menge der natürlichen Zahlen?
Antwort: endlich viele.

Frage: Wieviele Zahlen überhaupt enthält die Menge der natürlichen Zahlen?
Antwort: unendlich viele.

Deine Behauptung per Induktion könne man eine Behauptung der Form
lim(n -> oo) A(n) beweisen ist grober Unfug. Erstens ist schon mal die Limes-Schreibweise in diesem Zusammenhang sinnfrei.

Nein, die Schreibweise lim_{n -> oo}A(n) ist gleichbedeutend mit der Schreibweise A(oo), die Du verwendet hast. Sie erklärt bloß, was A(oo) überhaupt bedeuten soll.

Davon abgesehen ist die Induktion auf die nat. Zahlen beschränkt.

So ist es. Und es gibt unendlich viele natürliche Zahlen: Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich => Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.

Du kannst beliebig oft Deinen Induktionsschritt von n nach n+1 vollziehen und wirst doch nie die nat Zahlen verlassen.

Hab ich ja auch gar nicht vor. Die Vollständige Induktion stellt aber sicher, dass eine Aussage für alle unendlich vielen natürlichen Zahlen bewiesen wird. Es gibt keine natürliche Zahl, oberhalb der die Aussage nicht bewiesen würde.

Aussagen über oo-lange Ketten kannst Du nicht herleiten.

Doch. Denn die natürlichen Zahlen sind mehr als bloss endlich viele. Und per Vollständiger Induktion wird eine Aussage o.B.d.A. für jede natürliche Zahl beweisen.

Du kannst keine natürliche Zahl angeben, ab der Schluss wäre. Der Induktionsschritt stoppt nirgendwo. Er erreicht alle unendlich vielen natürlichen Zahlen.

[Reinhard]

Hier verschwimmt doch der Unendlichkeitsbegriff etwas ...

Die Schreibweise "∞" ist in der Mathematik streng genommen ja gar nicht eindeutig definiert, denn es gibt ja durchaus unterschiedliche Grade an "Unendlichkeit". (-> Das Wiki "Grenzwert" zeigt die dazu erforderlichen Hinweise)

Allgemein besagt der mathematische Begriff "unendlich" jedoch immer, dass auf jeden Fall jeder Grenzwert überschritten wird.

Deshalb ist es völlig richtig, dass es unendlich viele "endlich lange" Zahlenreihen ( ∈ ℕ ) gibt, denn für jede gegebene Anzahl solcher Reihen kann man immer eine größere Anzahl angeben. (z.B. indem man einfach noch eine längere dazu legt)

Mit den "unendlich langen Reihen" ist das so eine Sache. Denn sie sind ja so definiert (wegen ihrer unendlichen Länge), dass jede Angabe zu ihrer Länge sinnlos ist: wenn Du behauptest, die Länge sei Zig Fantastillionen, dann ist sie ja schon nicht mehr unendlich.
Wie lang ist denn nun eine unendliche Reihe ?
Und welchen Sinn macht es da zu sagen, zwei solche unendlichen Reihen seien gleich lang ? - oder, eine dieser unendlichen Reihen sei länger als die andere ?

Deshalb ist die Aussage schon sehr wohl zwingend:

Aussagen über oo-lange Ketten kannst Du nicht herleiten.

[Sempre]

Deshalb ist es völlig richtig, dass es unendlich viele "endlich lange" Zahlenreihen ( ∈ ℕ ) gibt, denn für jede gegebene Anzahl solcher Reihen kann man immer eine größere Anzahl angeben. (z.B. indem man einfach noch eine längere dazu legt)

Küchenmathematik.

Hier verschwimmt doch der Unendlichkeitsbegriff etwas ...

Ja, bei Heinrich II und Dir.


Mal für Amateure:

Wir betrachten alle verschieden langen Dominosteinreihen endlicher, nicht verschwindender Länge. Jeder dieser Reihen können wir eine natürliche Zahl zuordnen. Wir wählen für jede Reihe diejenige natürliche Zahl, die ihre Länge angibt. Sei nun der längsten Reihe die natürliche Zahl N zugeordnet, weil die längste Reihe die Länge N habe. Dann ist N endlich, weil die Länge der Reihe voraussetzungsgemäß endlich ist. N gibt hierbei nicht nur die Länge der längsten Reihe an, sondern gleichzeitig auch die Anzahl aller Reihen, die wir betrachten, d.h. der Reihen endlicher Länge.

Fazit: Es gibt endlich viele verschieden lange Dominosteinreihen endlicher Länge.


Anmerkung: Wir können zwar die Zahl N nicht angeben. Sie ist aber voraussetzungsgemäß endlich.

[Heinrich II]

Nonsens ist leider Deine Äußerung. Wie lang ist denn dann die längste dieser (angeblich nur) endlich vielen endlich langen Ketten?

Na, endlich lang. Endlich lange Ketten sind endlich lang. ...
Frage: Wieviele endliche Zahlen enthält die Menge der natürlichen Zahlen?
Antwort: endlich viele.
Frage: Wieviele Zahlen überhaupt enthält die Menge der natürlichen Zahlen?
Antwort: unendlich viele.

Es ist schon erstaunlich mit welcher Selbstsicherheit Du hier falsche Aussagen vertrittst, wo die Mathematik doch offensichtlich kein sicheres Terrain für Dich ist.
Wenn es nur endlich viele natürliche Zahlen gäbe, dann müsstest Du eine obere Schranke dieser Anzahl und die größste natürliche Zahl angeben können. Das geht aber nicht!

Reinhard hat es vollkommen richtig erklärt:

Hier verschwimmt doch der Unendlichkeitsbegriff etwas ...
...
Allgemein besagt der mathematische Begriff "unendlich" jedoch immer, dass auf jeden Fall jeder Grenzwert überschritten wird.
Deshalb ist es völlig richtig, dass es unendlich viele "endlich lange" Zahlenreihen ( ∈ ℕ ) gibt, denn für jede gegebene Anzahl solcher Reihen kann man immer eine größere Anzahl angeben. (z.B. indem man einfach noch eine längere dazu legt)

Aussagen über oo-lange Ketten kannst Du nicht herleiten.

Doch. Denn die natürlichen Zahlen sind mehr als bloss endlich viele. Und per Vollständiger Induktion wird eine Aussage o.B.d.A. für jede natürliche Zahl beweisen.

Du kannst keine natürliche Zahl angeben, ab der Schluss wäre. Der Induktionsschritt stoppt nirgendwo. Er erreicht alle unendlich vielen natürlichen Zahlen.

Richtig jede natürliche Zahl wird erreicht. Aber, nochmal langsam zum Mitschreiben:
"Unendlich" ist keine natürliche Zahl.

Lies Dir nochmal langsam und gründlich meine Hinweise zur Induktion durch (bei denen ich leider ein entscheidendes Wort vergessen hatte):
Wie funktioniert vollständige Induktion? - Wir können damit Behauptungen der folgenden Form beweisen: "Für alle natürlichen Zahlen n gilt die Aussage A(n)."
Der Beweis verläuft nun in zwei Etappen:
1. Induktionsanfang: Die Aussage ist für n=1 wahr. D.h. zu zeigen ist, dass A(1) wahr ist.
2. Induktionsschritt: Wenn A(n) wahr ist, dann muss auch A(n+1) wahr sein.

Aus 1. + 2. folgt dann, dass A(n) für alle natürlichen Zahlen wahr ist.

Für A(n) kann man z.B. die Aussage betrachten
i) A(n) = "Jede umfallende Dominosteinreihe der Länge n braucht einen äußeren Anstoss." oder
ii) A(n) = "Jede n-elementige Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein größstes Element."

Anwendung auf (i) und (ii) beweisen:
I) Jede endliche Reihe von Dominosteinen bedarf eines ersten Anstosses. (Egal, ob deren Länge nun 2, 42, 23456 oder einer anderen natürlichen Zahl entspricht.
II) Jede endliche nichtleere Teilmenge natürlicher Zahlen hat ein größstes Element.

Dies ist bewiesen, aber nicht mehr!

Es sollte Dir auffallen, dass die Aussagen (i) und (ii) das Gleiche beschreiben. Nenn dazu einfach Deinen ersten Stein, der von außen angestossen wird, das größste Element. Du willst beweisen
I Falsch) A(oo) = "Jede abzählbar unendliche Reihe von Dominosteinen bedarf eines ersten Anstosses."
Dies ist logisch äquivalent zu
II Falsch) A(oo) = "Jede abzählbar unendliche Reihe von Dominosteinen bedarf eines ersten Anstosses."

Zumindestens der Fehler in (II Falsch) sollte Dir auffallen!

Reinhard hat auch hier recht:

Aussagen über oo-lange Ketten kannst Du nicht herleiten.

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Zuguterletzt gehe ich noch auf zwei Randthemen ein:

Nein, die Schreibweise lim_{n -> oo}A(n) ist gleichbedeutend mit der Schreibweise A(oo), die Du verwendet hast. Sie erklärt bloß, was A(oo) überhaupt bedeuten soll.

Nein "A(oo)" ist nur meine Schreibweise um in der Aussage A(n) = "Jede umfallende Dominosteinreihe der Länge n braucht einen äußeren Anstoss." das Wort "n" durch "(abzählbar) unendlich" zu ersetzen.

Der Begriff des Grenzwerts ist einer der wichtigsten Begriffe der Analysis. Man kann ihn aber nicht auf Aussagen übertragen. Um Grenzwerte zu definieren benötigt man eine Metrik (Abstandsmessung). (In topologischen Räumen geht es auch, aber der Grenzwert braucht nicht mehr eindeutig zu sein.) ....

Und welchen Sinn macht es da zu sagen, zwei solche unendlichen Reihen seien gleich lang ? - oder, eine dieser unendlichen Reihen sei länger als die andere ?

Gleichmächtig sind für einen Mathematiker zwei Mengen wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. In diesem Sinne haben die geraden Zahlen "genauso viele" (mit dem Begriff muss man vorsichtig sein) Elemente wie alle natürlichen Zahlen, oder die ganzen Zahlen, oder auch die rationalen. Die reellen Zahlen sind aber "mehr", das sind überabzählbar unendlich viele. Und die Potenzmenge von R hat nochmal mehr als R.

[Heinrich II]

Küchenmathematik.

Deine vollkommen unchristliche Selbstgefälligkeit (Wie war das nochmal mit der Demut?) stinkt langsam zum Himmel. Aber Schwamm drüber...

Mal für Amateure:

Du behauptest nicht ernsthaft ein Profi zu sein, also ein Mathematikstudium abgeschlossen zu haben, oder?

Wir betrachten alle verschieden langen Dominosteinreihen endlicher, nicht verschwindender Länge. Jeder dieser Reihen können wir eine natürliche Zahl zuordnen. Wir wählen für jede Reihe diejenige natürliche Zahl, die ihre Länge angibt. Sei nun der längsten Reihe die natürliche Zahl N zugeordnet, weil die längste Reihe die Länge N habe. Dann ist N endlich, weil die Länge der Reihe voraussetzungsgemäß endlich ist. N gibt hierbei nicht nur die Länge der längsten Reihe an, sondern gleichzeitig auch die Anzahl aller Reihen, die wir betrachten, d.h. der Reihen endlicher Länge.

Fazit: Es gibt endlich viele verschieden lange Dominosteinreihen endlicher Länge.

Danke für Deine Begründung. Sie lässt sich aber leicht widerlegen. Ich nehme die längste Reihe der Länge N und tue einen weiteren Stein dazu. Schon habe ich eine längere Reihe der Länge N+1.
Das ist übrigens ein Standardargument der Mathematik, das jeder Mathematikstudent im ersten Semester schlafwandelnd in seiner Küche vor dem Kühlschrank bringen kann. Also beste Küchenmathematik....

[Sempre]

Das endlose Gelaber in epischer Breite hilft nicht weiter.

Bitte diesen anschaulichen Beweis hier widerlegen. Nicht mit Herumgeeier. Sondern ggf. einen Fehler finden und angeben:

Wir betrachten alle verschieden langen Dominosteinreihen endlicher, nicht verschwindender Länge. Jeder dieser Reihen können wir eine natürliche Zahl zuordnen. Wir wählen für jede Reihe diejenige natürliche Zahl, die ihre Länge angibt. Sei nun der längsten Reihe die natürliche Zahl N zugeordnet, weil die längste Reihe die Länge N habe. Dann ist N endlich, weil die Länge der Reihe voraussetzungsgemäß endlich ist. N gibt hierbei nicht nur die Länge der längsten Reihe an, sondern gleichzeitig auch die Anzahl aller Reihen, die wir betrachten, d.h. der Reihen endlicher Länge.

Fazit: Es gibt endlich viele verschieden lange Dominosteinreihen endlicher Länge.

Falls kein Fehler gefunden wird, bitte bestätigen, dass alles richtig ist.


P.S.: Das ist keine Widerlegung:

Danke für Deine Begründung. Sie lässt sich aber leicht widerlegen. Ich nehme die längste Reihe der Länge N und tue einen weiteren Stein dazu. Schon habe ich eine längere Reihe der Länge N+1.

Ja und? Du hast immer noch eine Reihe endlicher Länge. Und du hast immer noch nicht unendlich viele Reihen sondern endlich viele. Du hast nur N_neu := N_alt - 1 substituiert.

[Albert]

Deshalb ist es völlig richtig, dass es unendlich viele "endlich lange" Zahlenreihen ( ∈ ℕ ) gibt, denn für jede gegebene Anzahl solcher Reihen kann man immer eine größere Anzahl angeben. (z.B. indem man einfach noch eine längere dazu legt)

Küchenmathematik.

Hier verschwimmt doch der Unendlichkeitsbegriff etwas ...

Ja, bei Heinrich II und Dir.


Mal für Amateure:

Wir betrachten alle verschieden langen Dominosteinreihen endlicher, nicht verschwindender Länge. Jeder dieser Reihen können wir eine natürliche Zahl zuordnen. Wir wählen für jede Reihe diejenige natürliche Zahl, die ihre Länge angibt. Sei nun der längsten Reihe die natürliche Zahl N zugeordnet, weil die längste Reihe die Länge N habe. Dann ist N endlich, weil die Länge der Reihe voraussetzungsgemäß endlich ist. N gibt hierbei nicht nur die Länge der längsten Reihe an, sondern gleichzeitig auch die Anzahl aller Reihen, die wir betrachten, d.h. der Reihen endlicher Länge.

Fazit: Es gibt endlich viele verschieden lange Dominosteinreihen endlicher Länge.


Anmerkung: Wir können zwar die Zahl N nicht angeben. Sie ist aber voraussetzungsgemäß endlich.

Sempre, eine sehr gute interpretative Ausführung in logisch und -pädagogischer Darstellung.
Lese hier mit Freude mit.

Einiges leuchtet wie die 2 Sorten von Ewigkeit: eine temporale, die von –oo bis +oo reicht, und eine „zeitlose“, in der Gegenwart nie zur Vergangenheit wird.

Dein Aufzeigen der Kausalbestimmung ist stimmig und nachvollziehbar.

Auch wenn Dir hier jetzt „unchristliche Selbstgefälligkeit“ zur Last gelegt wird – was für ein trostloses Argument – Deine posts haben Qualität.

Gruß,
Albert

[Heinrich II]

@Sempre
Das, was Du überheblich als "Gelaber" bezeichnest ist die Widerlegung Deines sog. "Beweises".

Ich hatte Dich vorher ausdrücklich gefragt, ob Du bereit bist die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass Du irrst. Bedenke Deine Antwort darauf bitte nochmal!

Jeder Mathematiker wird Dir bestätigen können, dass Dein Induktionsbeweis falsch ist (- wie ich oben ausführlich ausgeführt habe) und das zusätzlich folgendes gilt:
1. "Unendlich" ist keine natürliche Zahl.
2. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. aber jede natürliche Zahl ist endlich.
3. Meine Widerlegung ist korrekt

Wir betrachten alle verschieden langen Dominosteinreihen endlicher, nicht verschwindender Länge. Jeder dieser Reihen können wir eine natürliche Zahl zuordnen. Wir wählen für jede Reihe diejenige natürliche Zahl, die ihre Länge angibt. Sei nun der längsten Reihe die natürliche Zahl N zugeordnet, weil die längste Reihe die Länge N habe. Dann ist N endlich, weil die Länge der Reihe voraussetzungsgemäß endlich ist. N gibt hierbei nicht nur die Länge der längsten Reihe an, sondern gleichzeitig auch die Anzahl aller Reihen, die wir betrachten, d.h. der Reihen endlicher Länge.

Fazit: Es gibt endlich viele verschieden lange Dominosteinreihen endlicher Länge.

Danke für Deine Begründung. Sie lässt sich aber leicht widerlegen. Ich nehme die längste Reihe der Länge N und tue einen weiteren Stein dazu. Schon habe ich eine längere Reihe der Länge N+1.
Das ist übrigens ein Standardargument der Mathematik, das jeder Mathematikstudent im ersten Semester schlafwandelnd in seiner Küche vor dem Kühlschrank bringen kann. Also beste Küchenmathematik....

Denn: Du hattest behauptet, die längste Reihe hätte die Länge N. Ich habe dies widerlegt.

Wie Reinhard vollkommen korrekt geschrieben hat bedeutet "unendlich" in der Mathematik, dass etwas über alle Grenzen wächst. Du kannst keine Grenzen für die Anzahl der endlichen Reihen angeben. Das und nur das habe ich gezeigt. Ich habe nirgends behauptet, dass N+1 eine Grenze für die längste Reihe ist. (Das wäre tatsächlich ein Taschenspielertrick. Aber Du solltest mal lernen genau zu lesen.)

Natürlich ist N+1 auch keine Grenze für die Länge von endlichen Reihen. Es gibt eben keine. Jeder Versuch eine anzugeben scheitert daran, dass ich immer noch eine längere finde. Da die Anzahl über alle Grenzen wächst, gibt es unendlich viele.

Genau nach dem gleichen Prinzip hat schon Euklid gefolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid

Das was Du überheblich als Küchenmathematik oder Taschenspielertrick bezeichnest ist also eines der ältesten Beweisprinzipien der Mathematik.

Frag einfach einen Mathematiker Deines Vertrauens. Vielleicht Herrn Franz Schmidberger....

[Heinrich II]

Sempre, eine sehr gute interpretative Ausführung in logisch und -pädagogischer Darstellung.

Nur leider falsch, wie schon Euklid wusste.

[Raphael]

Habt ihr Euch eigentlich 'mal gefragt, wie man eine unendlich lange Reihe von Dominosteinen in ein endlich großes Universum hineinbekommt?

[Albert]

Sempre, eine sehr gute interpretative Ausführung in logisch und -pädagogischer Darstellung.

Nur leider falsch, wie schon Euklid wusste.

Da wäre ich mir nicht so sicher.
Ihre Sprachen lassen sich mathematisch nicht einfach übersetzen.
Wie aus dem Wortlaut vom Anfang der Elemente oder Dominosteine deutlich wird, geht Euklid und/oder Sempre von Definitionen, Postulaten und Axiomen aus, die die Grundlage der geometrischen Problemlösungen sind.

Wobei @Sempre die Evidenz deutlicher aufzeigt.


Abendliche Grüße,
Albert

[Reinhard]

Habt ihr Euch eigentlich 'mal gefragt, wie man eine unendlich lange Reihe von Dominosteinen in ein endlich großes Universum hineinbekommt?

Oooch ja, auf dieses Argument hatte ich Sempre bereits hier im Vorläuferstrang hingewiesen.
So richtig darauf eingegangen ist er auch damals schon nicht.

Vielleicht eine Bemerkung zu meiner Vorbildung: zusammen mit den Mathematikern habe ich im Rahmen meines Ingenieurstudiums "Höhere Mathematik" gehört und "Mathematik und heutige Weltbilder". Das ist also durchaus auch mein Metier.

[Juergen]

@Reinhard: Was meinst Du, warum Sempre eine Dickkopf als Avatar hat?

[Heinrich II]

Sempre, eine sehr gute interpretative Ausführung in logisch und -pädagogischer Darstellung.

Nur leider falsch, wie schon Euklid wusste.

Da wäre ich mir nicht so sicher.
...
Abendliche Grüße,
Albert

Du musst Dir auch nicht sicher sein. Du hast ja keine Mathematik studiert - wie Sempre ganz offensichtlich auch nicht. Jeder Mathematiker kann Dir aber meine drei Punkte von oben bestätigen.

Abendliche Grüße zurück
Heinrich

PS: Folgende Seite scheint mir auch für Nichtmathematiker ganz gut lesbar zu sein.
http://www.mathematik.de/ger/informatio ... dlich.html

[Reinhard]

@Reinhard: Was meinst Du, warum Sempre eine Dickkopf als Avatar hat?

Aber kann man mit dem Pippi-Langstrumpf-Axiom denn wirklich die Welt verstehen ?

(erklären kann man sie ja damit vielleicht .... )