Epistemologie / Erkenntnistheorie

[Bruder Donald]

Grenzen unserer Erkenntnis

Der berühmte Logiker Kurt Gödel veröffentlichte vor 90 Jahren seinen Unvollständigkeitssatz, ein mathematisches Resultat über prinzipielle Grenzen der Formalisierbarkeit und Beweisbarkeit in logischen Theorien.
[...]

Kurz gefasst

Der Logiker Kurt Gödel zeigte 1931 in seinem bekannten „Unvollständigkeitssatz“, dass es in jedem formal-logischen System eine Formel gibt, über deren Gültigkeit das System keine Aussage machen kann. Als Menschen außerhalb des Systems erkennen wir aber, dass die Formel gültig ist, kommen also zu einer Schlussfolgerung, die von keiner Maschine und keinem formalen System nachvollziehbar ist. Gödel sah dies als Evidenz dafür, dass die mechanistische These, dass nämlich der menschliche Verstand durch einen Computer simulierbar sei, falsch ist. Andererseits deutet es darauf hin, dass wir grundsätzlich die Entstehung oder Funktionsweise unseres Bewusstseins nicht verstehen können.

[Raphael]

Grenzen unserer Erkenntnis

Der berühmte Logiker Kurt Gödel veröffentlichte vor 90 Jahren seinen Unvollständigkeitssatz, ein mathematisches Resultat über prinzipielle Grenzen der Formalisierbarkeit und Beweisbarkeit in logischen Theorien.
[...]

Kurz gefasst

Der Logiker Kurt Gödel zeigte 1931 in seinem bekannten „Unvollständigkeitssatz“, dass es in jedem formal-logischen System eine Formel gibt, über deren Gültigkeit das System keine Aussage machen kann. Als Menschen außerhalb des Systems erkennen wir aber, dass die Formel gültig ist, kommen also zu einer Schlussfolgerung, die von keiner Maschine und keinem formalen System nachvollziehbar ist. Gödel sah dies als Evidenz dafür, dass die mechanistische These, dass nämlich der menschliche Verstand durch einen Computer simulierbar sei, falsch ist. Andererseits deutet es darauf hin, dass wir grundsätzlich die Entstehung oder Funktionsweise unseres Bewusstseins nicht verstehen können.

Kurt Gödel hat (streng logisch natürlich ) herausgefunden, daß es in formal-logischen Systemen keine inhärente Beweisbarkeit gibt.

Daher stellt sich nun die Frage, wie es sich mit der inhärenten Beweisbarkeit in den nicht formal-logischen Systemen verhält.

[Protasius]

Grenzen unserer Erkenntnis

Der berühmte Logiker Kurt Gödel veröffentlichte vor 90 Jahren seinen Unvollständigkeitssatz, ein mathematisches Resultat über prinzipielle Grenzen der Formalisierbarkeit und Beweisbarkeit in logischen Theorien.
[...]

Kurz gefasst

Der Logiker Kurt Gödel zeigte 1931 in seinem bekannten „Unvollständigkeitssatz“, dass es in jedem formal-logischen System eine Formel gibt, über deren Gültigkeit das System keine Aussage machen kann. Als Menschen außerhalb des Systems erkennen wir aber, dass die Formel gültig ist, kommen also zu einer Schlussfolgerung, die von keiner Maschine und keinem formalen System nachvollziehbar ist. Gödel sah dies als Evidenz dafür, dass die mechanistische These, dass nämlich der menschliche Verstand durch einen Computer simulierbar sei, falsch ist. Andererseits deutet es darauf hin, dass wir grundsätzlich die Entstehung oder Funktionsweise unseres Bewusstseins nicht verstehen können.

Kurt Gödel hat (streng logisch natürlich ) herausgefunden, daß es in formal-logischen Systemen keine inhärente Beweisbarkeit gibt.

Daher stellt sich nun die Frage, wie es sich mit der inhärenten Beweisbarkeit in den nicht formal-logischen Systemen verhält.

Mir stellt sich zuvor die Frage, ob man außerhalb eines formal-logischen Systems überhaupt irgendetwas streng beweisen kann. Hättest du ein Beispiel dafür zur Hand? Meine Intuition spricht dagegen, aber ich könnte als mathematisch-physikalisch ausgebildeter Mensch natürlich evtl. voreingenommen sein, weil alle Beweise aus den letzten paar tausend Jahren, die ich bislang gesehen habe, formal-logisch dargestellt werden können bzw. es meist auch direkt waren.

[Trisagion]

Gödels berühmte Beweise sind ... ziemlich unwichtig für die praktische Anwendung. Sie schockieren mehr auf einer "philosophischen" Ebene.

Sein erster Unvollständigkeitssatz sagt, daß in mathematischen Systemen die widerspruchfrei und mächtig genug sind Aussagen gemacht werden können die zwar wahr sind, aber nicht innerhalb desselben Systems beweisbar sind. (Und wenn man eine solche unbeweisbar wahre Aussage einfach als Axiom dem System hinzufügt, ergibt sich mindestens eine neue unbeweisbar wahre Aussage.) Das ist ein Problem für Mathematiker, die nun nicht mehr sicher sein können, daß jede sinnvoll gestellte mathematische Frage auch eine Antwort hat. Beispiel: "Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen." (Goldbachsche Vermutung) Vor Gödel dachte man, es gäbe eine Garantie, daß die Vermutung entweder falsch ist, und dann kann man ein Gegenbeispiel finden, oder wahr ist, und dann kann man einen Beweis dafür finden. Nach Gödel gilt nur noch ersteres, aber letzteres ist nicht mehr garantiert. Die Goldbachsche Vermutung könnte verständlich, wahr, aber unbeweisbar sein.

Sein zweiter Unvollständigkeitssatz sagt, daß man mittels eines mächtigen mathematisches System beweisen kann, daß dieses System selbst widerspruchsfrei ist, aber dann und nur dann, wenn das System in Wirklichkeit einen Widerspruch enthält. Im Umkehrschluß bedeutet das, daß man mit einem mächtigen mathematischen System das widerspruchsfrei ist nicht nachweisen kann, daß das System selbst widerspruchsfrei ist. Anders gesagt, wir können zwar eine Mathematik benutzen die stimmt, aber nicht gleichzeitig wissen, daß sie stimmt. Und wenn unsere Mathematik sagen würde, daß sie stimmt, dann wüßten wir genau deshalb, daß sie nicht stimmt. Eine benutzbare Mathematik ist insofern immer eine Mathematik unbekannter Stimmigkeit.

Wie hat Gödel derlei bewiesen? Im wesentlichen in dem er ein Kodiersystem entwickelt hat, mit dessen Hilfe die Mathematik über sich selbst sprechen kann. Sobald die Möglichkeit einer Selbstreferenz gegeben war, hat er schlicht Versionen der Aussage

"Dieser Satz ist falsch."

aufgestellt und in Richtung Beweisbarkeit ausgeschlachtet. Das ist alles sehr viel weniger interessant als es scheint, jedenfalls für jemanden wie mich der Mathematik anwendet. Mathematik funktioniert genauso gut nach Gödel wir vor ihm. Es war ein Schock für Mathematiker, weil die eine idealistische Vorstellung von der Mathematik hatte: Mathematik als eine Art absolute Wahrheitsmaschinerie. Aber nachdem sie den Schock verdaut hatten, haben auch die so ziemlich einfach weitergemacht wie vorher. Es gibt z.B. selbstverständlich immer noch Mathematiker, die an der Goldbachschen Vermutung arbeiten. Und kaum ein Mathematiker macht sich Sorgen um die Stimmigkeit der Mathematik an sich bei seinen Beweisführungen. Es ist ein Problem des Prinzips, nicht wirklich der Praxis.

Sagt uns all dies etwas über den Menschen? Äh, nicht wirklich, außer man war der absurden Ansicht daß der Mensch ein mathematisches System ist. Gelegentlich wird behauptet, man könnte dank Gödel beweisen, daß der Mensch kein mathematisches System ist. Die Idee ist da wohl, daß der Mensch mehr tun kann als die Mathematik. Aber ich denke nicht, daß das Argument zieht - obwohl das Resultat trivial richtig ist. Es ist als ob man sagt, daß eine Käse nicht gut Tennis spielt. Das ist korrekt, aber für die Aussage braucht man weder Tennisregeln noch Spielstatistiken zu Rate ziehen.

[Raphael]

Mir stellt sich zuvor die Frage, ob man außerhalb eines formal-logischen Systems überhaupt irgendetwas streng beweisen kann. Hättest du ein Beispiel dafür zur Hand?

Meiner Ansicht nach ja, man ist jedoch bei diesem strengen Beweis an bestimmte Voraussetzungen gebunden.

Der Klassiker bei den formal-logischen Systemen ist natürlich die Mathematik als die Sprache der Naturwissenschaften. Hierbei ist sie insbesondere die Sprache der Physik als der grundlegendsten von den Naturwissenschaften. Die Mathematik ist als eine Abstraktion von Sprache in die natürliche Sprache übersetzbar, bleibt jedoch semiotisch andersartig.

Ein Beweis außerhalb eines formal-logischen Systems kann wie folgt geführt werden:
Zwei Menschen unterhalten sich in London und der Eine stellt den Satz „Der Eiffelturm steht in Paris!“ in den Raum.
Der Andere kann nun nach Paris fahren und den Eiffelturm besichtigen.
Oder anders ausgedrückt: Der Andere kann den Beweis höchstpersönlich herbeiführen, indem er sich von der Tatsächlichkeit überzeugt.

Eine weitere Möglichkeit ist: Der Andere kann dem Einen vertrauen, weil er diesen näher kennt, weiss, daß dieser vor kurzem eine Reise nach Paris unternommen hat und ganz allgemein geneigt ist, die Wahrheit zu sagen. Frei nach dem Motto: Er hat mich noch nie belogen, also wird er das auch diesmal nicht getan haben.
Diese Möglichkeit des Vertrauens hat allerdings den Nachteil, daß mit ihr nicht völlig ausgeschlossen ist, daß der Eine doch gelogen hat. Man könnte also einwenden, es sei kein strenger Beweis.

Meine Intuition spricht dagegen, aber ich könnte als mathematisch-physikalisch ausgebildeter Mensch natürlich evtl. voreingenommen sein, weil alle Beweise aus den letzten paar tausend Jahren, die ich bislang gesehen habe, formal-logisch dargestellt werden können bzw. es meist auch direkt waren.

Diese Ausbildung ist in gewisser Weise eine Festlegung oder wissenschaftstheoretisch gesprochen, ein Paradigma. Soweit ich das überblicken kann, ist es in den Naturwissenschaften auch völlig normal, daß die einschlägigen Beweise in formal-logischen Systemen dargestellt werden.
Ein Geisteswissenschaftler würde jedoch einem anderen Paradigma unterliegen.

Meiner persönlichen Ansicht nach ist man jedoch in der Lage, mit derlei Paradigmata vernünftig umzugehen, solange man sich deren bewußt ist.

[Trisagion]

Hmm, ich hätte mir den Link auch mal durchlesen können, dann hätte ich mir die Hälfte meines Geschreibsels sparen können... Hier ist die typische Aussage aus dem Artikel:

Ist die Mathematik konsistent, ist die Gödel-Formel nicht beweisbar; sie muss demnach wahr sein. Wir Menschen blicken von außerhalb auf das System und sehen, dass G wahr, aber nicht in der Principia Mathematica (PM) beweisbar ist. ... ​Wenn nun PM tatsächlich konsistent ist, wie alle Mathematiker glauben, dann kennen wir als Menschen den Status von G, aber Gödel zeigt ja gerade, dass er in PM offen ist. Maschinen können sozusagen keinen Gewinn aus der Konsistenz von PM ziehen. Wir kommen zu der bemerkenswerten Schlussfolgerung, dass, wenn die Mathematik konsistent ist, wir Menschen Schlussfolgerungen ziehen können, die von Rechenmaschinen jeglicher Art, ob Computer oder neuronales Netz, nicht nachvollziehbar sind.

Das Interessante an dieser Argumentation ist wie uninteressant sie eigentlich ist. Letztlich sagt sie nur "verstehen ist nicht gleich berechnen", was eigentlich klar sein sollte. Nur wenn jemand partout glaubt, daß Verständnis eine Art Berechnung (von Neuronen im Hirn ist), dann ist Gödels Beweis auf den ersten Blick problematisch. Denn der Mensch kommt anscheinend zu einem Ergebnis, das man nicht per Berechnung erreichen kann. Insofern scheint man hier quasi per Beispiel zum "verstehen ist nicht gleich berechnen" gezwungen zu werden. Nur hält das als Beweis einer näheren Analyse nicht stand. Man braucht nur sagen, daß der menschliche "Rechner" Hirn eben nicht aufgrund einer Berechnung von PM zu einer Bewertung von G kommt, und schon hat sich das Gödelsche Problem erledigt. Gödel sagt ja nur, daß PM selber sein eigenes G nicht bewerten kann, aber nicht daß X im Menschenkopf nicht das G von PM bewerten kann. Es mag dann ein anderes G' geben für X, und das könnte der "Rechner" Mensch dann halt nicht bewerten. Aber wenn PM und X nicht identisch sind, dann gibt es keinen Grund anzunehmen, daß G als G' fungieren kann.

[Protasius]

Mir stellt sich zuvor die Frage, ob man außerhalb eines formal-logischen Systems überhaupt irgendetwas streng beweisen kann. Hättest du ein Beispiel dafür zur Hand?

Meiner Ansicht nach ja, man ist jedoch bei diesem strengen Beweis an bestimmte Voraussetzungen gebunden.

Der Klassiker bei den formal-logischen Systemen ist natürlich die Mathematik als die Sprache der Naturwissenschaften. Hierbei ist sie insbesondere die Sprache der Physik als der grundlegendsten von den Naturwissenschaften. Die Mathematik ist als eine Abstraktion von Sprache in die natürliche Sprache übersetzbar, bleibt jedoch semiotisch andersartig.

Ein Beweis außerhalb eines formal-logischen Systems kann wie folgt geführt werden:
Zwei Menschen unterhalten sich in London und der Eine stellt den Satz „Der Eiffelturm steht in Paris!“ in den Raum.
Der Andere kann nun nach Paris fahren und den Eiffelturm besichtigen.
Oder anders ausgedrückt: Der Andere kann den Beweis höchstpersönlich herbeiführen, indem er sich von der Tatsächlichkeit überzeugt.

Eine weitere Möglichkeit ist: Der Andere kann dem Einen vertrauen, weil er diesen näher kennt, weiss, daß dieser vor kurzem eine Reise nach Paris unternommen hat und ganz allgemein geneigt ist, die Wahrheit zu sagen. Frei nach dem Motto: Er hat mich noch nie belogen, also wird er das auch diesmal nicht getan haben.
Diese Möglichkeit des Vertrauens hat allerdings den Nachteil, daß mit ihr nicht völlig ausgeschlossen ist, daß der Eine doch gelogen hat. Man könnte also einwenden, es sei kein strenger Beweis.

Meine Intuition spricht dagegen, aber ich könnte als mathematisch-physikalisch ausgebildeter Mensch natürlich evtl. voreingenommen sein, weil alle Beweise aus den letzten paar tausend Jahren, die ich bislang gesehen habe, formal-logisch dargestellt werden können bzw. es meist auch direkt waren.

Diese Ausbildung ist in gewisser Weise eine Festlegung oder wissenschaftstheoretisch gesprochen, ein Paradigma. Soweit ich das überblicken kann, ist es in den Naturwissenschaften auch völlig normal, daß die einschlägigen Beweise in formal-logischen Systemen dargestellt werden.
Ein Geisteswissenschaftler würde jedoch einem anderen Paradigma unterliegen.

Meiner persönlichen Ansicht nach ist man jedoch in der Lage, mit derlei Paradigmata vernünftig umzugehen, solange man sich deren bewußt ist.

Dieses semantische statt syntaktische Beweisen schränkt allerdings die möglichen Aussagen, die man auf diese Art und Weise beweisen oder widerlegen kann, ein. Man kann einzelne Aussagen beweisen oder widerlegen, die sich auf ein konkretes einzelnes Objekt beziehen, wie oben den Eiffelturm; man kann Aussagen über die Existenz eines Objektes beweisen, wenn man es beobachtet, aber man kann diese Aussage nicht widerlegen, wenn man keine Aussage über den Ort hat. Beispielsweise kann man auf diese Art und Weise die Existenz von Einhörnern beweisen, wenn man eines findet, aber nicht widerlegen, weil es ja irgendwo sein könnte, wo man noch nicht geguckt hat. Und Allaussagen für eine unendliche Menge kann man auf diese Weise nicht beweisen (und für eine endliche Menge nur, wenn man jedes Objekt aus dieser Menge untersucht), allerdings widerlegen, falls man ein Gegenbeispiel findet.

[Raphael]

Dieses semantische statt syntaktische Beweisen schränkt allerdings die möglichen Aussagen, die man auf diese Art und Weise beweisen oder widerlegen kann, ein.

Einschränkungen ist man immer unterworfen, wenn es um die Dinge der Schöpfung geht!

Ich würde hier eine etwas andere Unterscheidung einziehen wollen.
Und zwar zwischen materiellen Dingen und geistigen Dingen und derer jeweiligen Erkenntnis.

Man kann einzelne Aussagen beweisen oder widerlegen, die sich auf ein konkretes einzelnes Objekt beziehen, wie oben den Eiffelturm; man kann Aussagen über die Existenz eines Objektes beweisen, wenn man es beobachtet, aber man kann diese Aussage nicht widerlegen, wenn man keine Aussage über den Ort hat. Beispielsweise kann man auf diese Art und Weise die Existenz von Einhörnern beweisen, wenn man eines findet, aber nicht widerlegen, weil es ja irgendwo sein könnte, wo man noch nicht geguckt hat. Und Allaussagen für eine unendliche Menge kann man auf diese Weise nicht beweisen (und für eine endliche Menge nur, wenn man jedes Objekt aus dieser Menge untersucht), allerdings widerlegen, falls man ein Gegenbeispiel findet.

Das Beispiel mit dem Eiffelturm war bewußt einfach gewählt und hatte einen materiellen Gegenstand als Erkenntnisobjekt.

Und daß der Beweis der Nichtexistenz aus logischen Gründen nicht geführt werden kann, ist mir bekannt.
By the way: DAS müssen selbst Hardcore-Atheisten zugeben, solange sie sich an die logischen Regeln halten wollen!

Bei All-Aussagen nähert man sich den Gottesbeweisen, für die besondere Regeln gelten. Diese unterschiedlichen Regeln haben ihren Grund in dem unterschiedlichen Erkenntnisgegenstand. Deshalb hatte ich auch auf die unterschiedlichen Paradigmata von Naturwissenschaftlern und Geisteswissenschaftlern hingewiesen.

Beispielsweise haben die Scholastiker herausgefunden, daß GOTT nicht definierbar ist. Der Verweis auf dessen Ort- und Zeitlosigkeit ist genau keine Definition, sondern die Einsicht in das Unwissen des erkennenden Subjektes.

Aber auch andere Begriffe wie bspw. «Ewigkeit» entwickeln bei genauerer Betrachtung eine Paradoxität.
Ist Ewigkeit nun die Abwesenheit von Zeit oder ist sie die Summe aller jemals existenten Zeiten?
Je nachdem welche Ausprägung man nimmt, kommt man zu anderen Ergebnissen.

Ähnliches gilt für den Begriff «Gott».
Gemäß dem Johannesprolog ist das Wort der Ursprung aller Dinge in der Schöpfung.

Erkenntnis findet beim Menschen immer im Wort statt. Denn die Sinneseindrücke werden mental in Worte umgewandelt, um dann rational weiterverarbeitet werden zu können. DIES ist – meiner bescheidenen Meinung nach – der Grund dafür, daß Menschen in vernünftiger Weise das «Wort» als Gott verehren.

[Raphael]

Das Vorstehende ist als Beitrag zur Epistemologie zu verstehen, weil diese philosophische Disziplin hier das Thread-Thema ist.

Darüber hinaus ist auf folgenden Unterschied zwischen der Philosophie und der Theologie zu verweisen:
Philosophie hört bei Gott auf, sie läuft jedoch zuvor geradewegs auf Gott zu, während die Theologie mit und bei Gott erst richtig anfängt. Dies gilt insbesondere deswegen, weil beide wissenschaftliche Disziplinen das Wort als Medium ihrer Verbreitung benutzen.