Der Gottesbeweis

[overkott]

Eine der herausragenden Eigenschaften Gottes ist seine Unendlichkeit.

Ich verstehe, dass der Begriff der Unendlichkeit ein dankbares interdisziplinäres Gesprächsthema von Mathematikern und Theologen hergibt, ähnlich wie Unsterblichkeit eines von Mikrobiologen und Theologen oder wie Unschuld eines von Juristen und Theologen. Der springende Punkt bei Spaemann scheint mir aber das Problem zu sein, eine Tatsachenbehauptung allein durch eine Wesensbestimmung begründen zu können, und das hat auf meinen ersten Blick mit Unendlichkeit nicht mehr zu tun als mit Unsterblichkeit oder Unschuld. Oder geht's auch innerhalb der reinen Mathematik um das Verhältnis von Idee und Realität bzw. erhebt sich auch bei einer der mathematisch beschriebenen Unendlichkeiten die Frage von deren notwendig realer Existenz?

Ok, nachdem Spämanns Ausgangsfrage nach Gott und Realität in der Hauptsache beantwortet ist, kann man sich den mathematischen Nebenfragen von Mathematik und Realität zuwenden. Vielleicht beantwortest du dir erst einmal die Frage: Was verstehst du unter Realität? Im Allgemeinen und im Besonderen. Differenzierst du Im Besonderen zwischen geistiger und körperlicher Realität oder reduzierst du Realität auf Körper, Materie, Objekte? Wie verhalten sich Realität und Qualität zueinander? Wie Qualität und Quantität? Wie Menge und Einheit? Und inwieweit stellt abstrakte Mathematik die Relatationen von Mengen in den Vordergrund und inwieweit lässt sie dabei Einheiten außen vor? Was folgen daraus für Probleme? Beispiel:

Behauptung: ∞ = ∞ + 1

Drückt diese Behauptung eine die Relation des Meeres und eines Tropfens aus? Ein Meer ist ( = ) ein Meer, auch wenn ein Tropfen Wasser dazu kommt? Wo aber kommt der Tropfen her? Wenn nicht aus dem Meer, dann kann an der Gleichung etwas nicht stimmen.

[overkott]

Gott spricht, und es ist realisiert.

Ja, das gehört zur in diesem Fall biblisch autorisierten Wesensbeschreibung Gottes. Dass es sich so zugetragen hat, kann man glauben oder auch bestreiten. Oder ist es für jeden logisch Denkenden unbestreitbar?

Liest man den Hebräerbrief, darf man davon ausgehen, dass nicht nur die Tradition, sondern auch Paulus diese Geschichte als parabola, also als Sinnbild verstanden hat. Gemäß der Schrift, also in der Bibel hat es sich unbestreitbar so zugetragen. Wir würden eine andere Bibel schreiben, wenn wir dies verleugnen wollten. Allerdings hat Gott den Menschen - wie schon die Schöpfungsgeschichte ganz treffend feststellt - mit einem freien Willen ausgestattet. Auch logisch denkende Menschen können daher nicht nur ja, sondern auch nein sagen.

[Albert]

(...)

Beim Gottesbeweis ist die Problematik ähnlich: Eine der herausragenden Eigenschaften Gottes ist seine Unendlichkeit. Es stellt sich also die Frage, wie man sinnvoll über IHN kommunizieren kann, ohne in den undefinierbaren Bereich der Unendlichkeit zu gelangen.
(...)
Damit wird festgelegt, daß auch in menschlicher Sprache über IHN verständlich kommuniziert werden kann; wobei den beteiligten Theologen jeweils bewußt ist, daß IHN diese Worte in humaner Sprache niemals voll umfänglich werden abbilden können.
(...)

Hervorhebungen von mir.

Ich dachte immer das man nur "von Gott" reden kann, und nicht über IHN.

Wir können von IHM eigentlich immer nur das von IHM Verschiedene begreifen, das auf IHN verweist.

Von IHM kann nur "analog", hinweisend, überhaupt gesprochen werden.

Sonntägliche Grüße,
Albert

[overkott]

Hervorhebungen von mir.

Ich dachte immer das man nur "von Gott" reden kann, und nicht über IHN.

Man kann von Gott her, weil Gott Herr ist und vorne steht, reden. Wer über ihn spricht, macht sich selbst zum Herrn - sprachlich gesehen. Wenn aber der Herr unter uns gelebt hat, dann deshalb, weil er sich selbst erniedrigt hat.

Was nun aber den Herrn von nebenan betrifft, so bringt seine Bezeichnung eine besondere Würde und Ehrerbietung zum Ausdruck. Herr und Diener drückte sich auch im Diener, also der Verneigung aus. Herr bedeutet ursprünglich also nicht Mann, sondern Herrscher.

Dieser Zusammenhang von Herr und Gott, der insbesondere dem Allmächtigen zukommt, zeigte sich sehr konkret bei der göttlichen Herrscherverehrung der Antike ( Pharaonen, Cäsaren... "Ich Cäsar, Kaiser und Gott" ).

[Raphael]

(...)

Beim Gottesbeweis ist die Problematik ähnlich: Eine der herausragenden Eigenschaften Gottes ist seine Unendlichkeit. Es stellt sich also die Frage, wie man sinnvoll über IHN kommunizieren kann, ohne in den undefinierbaren Bereich der Unendlichkeit zu gelangen.
(...)
Damit wird festgelegt, daß auch in menschlicher Sprache über IHN verständlich kommuniziert werden kann; wobei den beteiligten Theologen jeweils bewußt ist, daß IHN diese Worte in humaner Sprache niemals voll umfänglich werden abbilden können.
(...)

Hervorhebungen von mir.

Ich dachte immer das man nur "von Gott" reden kann, und nicht über IHN.

Nun, man kann auch über IHN reden, weil ER unter uns gewohnt hat!

Nur sollte man bei diesem Reden auch die erforderliche Ehrfurcht und Achtung an den Tag legen, denn am Ende seiner (irdischen) Tage ist ER erhöht worden; um dann - quasi um diese Erhöhung noch zu steigern - in den Himmel aufgenommen wurde und zur Rechten des Vaters sitzt.

Wir können von IHM eigentlich immer nur das von IHM Verschiedene begreifen, das auf IHN verweist.

Von IHM kann nur "analog", hinweisend, überhaupt gesprochen werden.

Sonntägliche Grüße,
Albert

Deshalb mein Verweis auf die analogia entis!

[overkott]

Nun, man kann auch über IHN reden, weil ER unter uns gewohnt hat!

Nur sollte man bei diesem Reden auch die erforderliche Ehrfurcht und Achtung an den Tag legen, denn am Ende seiner (irdischen) Tage ist ER erhöht worden; um dann - quasi um diese Erhöhung noch zu steigern - in den Himmel aufgenommen wurde und zur Rechten des Vaters sitzt.

Das ändert nichts daran, dass der Vater zuerst kommt, den Platz neben sich zuweist und selbst auf dem Platz neben seinem Sohn sitzen bleibt.

[overkott]

Deshalb mein Verweis auf die analogia entis!

Also, Raphael, probier's mal mit etwas mehr als einem Schlagwort. Denkst du biblisch oder willst du uns nur etwas Aristoteles unterjubeln?

[Raphael]

Nun, man kann auch über IHN reden, weil ER unter uns gewohnt hat!

Nur sollte man bei diesem Reden auch die erforderliche Ehrfurcht und Achtung an den Tag legen, denn am Ende seiner (irdischen) Tage ist ER erhöht worden; um dann - quasi um diese Erhöhung noch zu steigern - in den Himmel aufgenommen wurde und zur Rechten des Vaters sitzt.

Das ändert nichts daran, dass der Vater zuerst kommt, den Platz neben sich zuweist und selbst auf dem Platz neben seinem Sohn sitzen bleibt.

Ich glaub, da sind wir völlig d'accord!

[Raphael]

Deshalb mein Verweis auf die analogia entis!

Also, Raphael, probier's mal mit etwas mehr als einem Schlagwort.

Schreib ich hier etwa zuwenig?

Denkst du biblisch oder willst du uns nur etwas Aristoteles unterjubeln?

Ja, denken tu ich hin und wieder auch!

Nur mit dem Unterjubeln hab ich's nicht so, mir liegt da eher der Jubel angesichts des bevorstehenden Festes auf dem Herzen!

[Sempre]

@ Raphael, Sempre, overkott, Reinhard, Heinrich II

Worin seht ihr die stichhaltigste gedankliche Brücke zwischen dem momentanen Stand eurer Diskussion und dem Beginn des Threads mit dem Spaemann-Zitat?

Von Robert Spaemanns nietzschefestem Gottesbeweis handeln nur die ersten beiden Beiträge in diesem Strang.

Die gesamte Debatte ab dem dritten Beitrag auf Seite 1 bezieht sich auf den Beweis aus der Bewegung bzw. den Kausalbeweis. Die ersten Beiträge dazu wurden seinerzeit von der Moderation hierherverlegt.

Oder befindet ihr euch auf einer allzu reizvollen Fach-Exkursion ohne Aussicht auf Wiederkehr zum Ausgangspunkt?

Nein, keineswegs. Die Widerlegung des regressus ad infinitum per vollständiger Induktion gehört direkt zum Thema.

Ist es dann eher angebracht, ein neues Thema zu beginnen, wenn ich Spaemanns Gedankengang wieder aufgreifen will?

Am besten wäre, die Moderation verschöbe die ersten beiden Beiträge in ein neues Thema "Spaemanns Gottesbeweis" und änderte hier den Titel "Gottesbeweis gemäß I. Vaticanum". Oder sie verschöbe alternativ alle anderen Beiträge in ein neues Thema mit dem Titel "Gottesbeweis gemäß I. Vaticanum" und änderte hier den Titel "Spaemanns Gottesbeweis".


P.S.: Willkommen im Forum!

[Sempre]

Georg Cantor führt die Zahl ω (heute oft als ∞ notiert) ein und betont den Unterschied zwischen Anzahl und laufender Nummer. Die Zahl ω ist die kleinste Zahl, die größer ist als jede endliche Zahl.

Diese Unterscheidung macht aber die Zahl ω (oder auch ∞) noch nicht zu einer natürlichen Zahl und darum ging's doch die ganze Zeit.

Hilberts Hotel handelt von natürlichen Zahlen. Siehe auch hier.

[Sempre]

@overkott
@Raphael

Die freie Assoziation, auch freies Assoziieren oder Methode der freien Einfälle genannt, ist eine Methode der psychoanalytischen Therapie Sigmund Freuds. Der Patient soll in der Therapie seinen Einfällen (Assoziationen) zu Personen, Ereignissen, Dingen oder Symbolen völlig freien Lauf lassen, ohne seine Äußerungen zu zensieren, auch wenn sie ihm als unpassend, unangenehm, sittenwidrig, unsinnig oder unwichtig erscheinen. Die freie Assoziation ist in der Freud'schen Behandlungstechnik die Hauptregel und die einzige unentbehrliche Methode um das Unbewusste zu erforschen.

[Raphael]

Georg Cantor führt die Zahl ω (heute oft als ∞ notiert) ein und betont den Unterschied zwischen Anzahl und laufender Nummer. Die Zahl ω ist die kleinste Zahl, die größer ist als jede endliche Zahl.

Diese Unterscheidung macht aber die Zahl ω (oder auch ∞) noch nicht zu einer natürlichen Zahl und darum ging's doch die ganze Zeit.

Hilberts Hotel handelt von natürlichen Zahlen. Siehe auch hier.

Mithin besteht die mathematische Denkleistung Cantor's und seines Epigonen Hilbert darin, die Zahl ω (oder auch ∞) zu einer natürlichen Zahl erklärt zu haben, um die Unendlichkeit operabel zu machen?

Und weil die Unendlichkeit so operabel wurde, hat Hilbert gleich ein Programm (Hilbertprogramm) aufgelegt, bis Gödel dessen Undurchführkeit nachwies?

So kommt man dann in stringenter mathematischer Logik von der Unendlichkeit zur Undurchführkeit!
Das jedoch wußte auch schon Goethe:
... Da steh ich nun, ich armer Tor, und bin so klug als wie zuvor .......

[Sempre]

Georg Cantor führt die Zahl ω (heute oft als ∞ notiert) ein und betont den Unterschied zwischen Anzahl und laufender Nummer. Die Zahl ω ist die kleinste Zahl, die größer ist als jede endliche Zahl.

Diese Unterscheidung macht aber die Zahl ω (oder auch ∞) noch nicht zu einer natürlichen Zahl und darum ging's doch die ganze Zeit.

Hilberts Hotel handelt von natürlichen Zahlen. Siehe auch hier.

Mithin besteht die mathematische Denkleistung Cantor's und seines Epigonen Hilbert darin, die Zahl ω (oder auch ∞) zu einer natürlichen Zahl erklärt zu haben, um die Unendlichkeit operabel zu machen?

Und weil die Unendlichkeit so operabel wurde, hat Hilbert gleich ein Programm (Hilbertprogramm) aufgelegt, bis Gödel dessen Undurchführkeit nachwies?

So kommt man dann in stringenter mathematischer Logik von der Unendlichkeit zur Undurchführkeit!

Dass es Sätze in den Principia Mathematica Russels und in verwandten Systemen gibt, die mit den Mitteln desselben Systems weder beweisbar noch widerlegbar sind, spielt hier in unserem Zusammenhang keinerlei Rolle.

Ein Beispiel für solche Sätze ist die Kontinuumshypothese. Wir reden hier aber über abzählbar unendliche Mengen.

Das jedoch wußte auch schon Goethe:
... Da steh ich nun, ich armer Tor, und bin so klug als wie zuvor .......

Danke, dass Du meinen vorigen Beitrag bestätigst. Die Methode der freien Einfälle hilft wohl, Dein Unbewusstes zu erforschen.

[overkott]

Nun, man kann auch über IHN reden, weil ER unter uns gewohnt hat!

Nur sollte man bei diesem Reden auch die erforderliche Ehrfurcht und Achtung an den Tag legen, denn am Ende seiner (irdischen) Tage ist ER erhöht worden; um dann - quasi um diese Erhöhung noch zu steigern - in den Himmel aufgenommen wurde und zur Rechten des Vaters sitzt.

Das ändert nichts daran, dass der Vater zuerst kommt, den Platz neben sich zuweist und selbst auf dem Platz neben seinem Sohn sitzen bleibt.

Ich glaub, da sind wir völlig d'accord!

[Raphael]

Das jedoch wußte auch schon Goethe:
... Da steh ich nun, ich armer Tor, und bin so klug als wie zuvor .......

Danke, dass Du meinen vorigen Beitrag bestätigst.

Wenn Dir eine Selbstbestätigung auch eine Bestätigung ist, dann nur weiter so, sempre!

Die Methode der freien Einfälle hilft wohl, Dein Unbewusstes zu erforschen.

Ich glaube nicht, daß Du gerade Unterbewußtes erforschst, sondern vielmehr Deine Überheblichkeit demonstrierst!

Des Weiteren glaube ich, daß Du mit kryptifizierten Psychopathologisierungen mehr von Dir enthüllst als Dir lieb sein kann ..........

[Heinrich II]

Ja, David Hilberts Hotel. Passt hier sehr gut.
Das Hotel mit den abzählbar unendlich vielen Einzelzimmern ist mit den Gästen
G1, G2, G3, ...
voll belegt. Um nun die ebenfalls abzählbar unendlich vielen neuen Gäste
H1, H2, H3, ...
unterzubringen, zieht jeder k-te Gast in das 2k-te Zimmer um und die Neuankömmlinge werden in den freigewordenen Zimmern dazwischen untergebracht:
H1, G1, H2, G2, H3, G3, ...
Das zuvor voll belegte Hotel mit den unendlich vielen Einzelzimmern ist nun immer noch voll belegt.
Nun steht Georg Cantor an der Rezeption, ruft alle Gäste an und bittet sie, die Zimmer zu tauschen. Die neue Ordnung soll so aussehen:
G1, G2, G3, ... H1, H2, H3, ...
Dann führt er eine Umbenennung durch:
alte Namen: G1, G2, G3, ... H1, H2, H3, ...
neue Namen: 1, 2, 3, ... ω, ω+1, ω+2, ...
Die ursprünglichen unendlich vielen Gäste heißen nun 1, 2, 3, ... und die neuangekommenen unendlich vielen Gäste heißen nun ω, ω+1, ω+2, ... Nun lehrt uns der berühmte Mathematiker Hilbert, dass all diese Zahlen immer noch natürliche Zahlen sind.

Was Du hier machst ist die Gäste H1, H2, usw. in ein zweites Hilbertsches Hotel mit den Zimmernummer ω, ω+1, ω+2, ... auszuquartieren. Bringt uns also nicht weiter!

Außerdem sagst Du, Heinrich II, ω sei eine endliche Zahl.

Ex 20,16.
Ich habe niemals behauptet ω sei eine endliche Zahl.

Ordinalzahlen sind sowieso keine Zahlen im klassischen Sinne, sondern eine abstrakte Erweiterung des Zahlbegriffes mit Mitteln der Mengentheorie.

Definition I. (setzt das Fundierungsaxiom voraus): Eine Menge S heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von S auch Teilmenge von S ist und S bezüglich der Mengeninklusion \subseteq total geordnet ist.

Fazit: Die kleinste Zahl, die größer ist als jede endliche Zahl, ist logischerweise keine endliche Zahl ... Diese Zahl ω ist laut Hilbert natürlich und laut Cantor nicht endlich.

Hilbert und Cantor würden sich im Grabe herumdrehen, wenn sie wüssten, dass Du sie für Deinen Blödsinn in Beschlag nimmst.

ω ist ebenfalls eine Ordinalzahl, die kleinste transfinite Ordinalzahl (größer als jede natürliche Zahl).

ω ist eben keine natürliche Zahl. (Sonst könnte sie ja auch nicht größer als jede natürliche Zahl sein.)

Fazit: Vollständige Induktion kann immer nur Aussagen auf den natürlichen Zahlen beweisen!



---
Kursive Zitate aus Wikipedia-Artikel Ordinalzahl (http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl).

[Heinrich II]

Hilbert's Hotel ist gelehrte Torheit. Jedes Kind ( Grundschüler ) weiß, dass diese Idee falsch ist. Mathematikstudenten, die unkritisch Hilbert's Gedankenexperiment folgen, verlernen zu rechnen. Das Hotel-Modell ist irrational. Es lenkt ab. Für die Frage des Gottesbeweises bringt es nicht weiter.

Es ist ein Gedankenexperiment um zu zeigen, dass in der Unendlichkeit unsere gewohnten Vorstellungen nicht gelten. Noch dazu ein amüsantes Gedankenexperiment .

[overkott]

Hilbert's Hotel ist gelehrte Torheit. Jedes Kind ( Grundschüler ) weiß, dass diese Idee falsch ist. Mathematikstudenten, die unkritisch Hilbert's Gedankenexperiment folgen, verlernen zu rechnen. Das Hotel-Modell ist irrational. Es lenkt ab. Für die Frage des Gottesbeweises bringt es nicht weiter.

Es ist ein Gedankenexperiment um zu zeigen, dass in der Unendlichkeit unsere gewohnten Vorstellungen nicht gelten. Noch dazu ein amüsantes Gedankenexperiment .

Das ist Pipi-Langstrumpf-Mathematik: "Ich mach mir die Welt, [theoretisch ist alles möglich] widewide wie..." 0 = 1 ist falsch. Grundschüler wissen das. Autoritätsgläubige Mathematikstudenten verlernen es, wenn Professoren das im Brustton der Überzeugung vortragen. Aber auch ein amüsiertes Lächeln kann zuweilen die Logik überrumpeln.

Glücklich, die einfach Denkenden - ist vor diesem Hintergrund mal eine ganz vernünftige Lesart der Bergpredigt.

[Reinhard]

....
Das ist Pipi-Langstrumpf-Mathematik: "Ich mach mir die Welt, [theoretisch ist alles möglich] widewide wie..." 0 = 1 ist falsch. Grundschüler wissen das. Autoritätsgläubige Mathematikstudenten verlernen es, wenn Professoren das im Brustton der Überzeugung vortragen.

Da nimm mal den Mund nicht so voll, wenn Du die Gedanken hinter dieser Mathematik nicht verstanden hast.
In diesen Kreisen (in denen ich auch schon fleißig mitdiskutiert habe !) gilt der Brustton der Überzeugung eines Professors keinen fluit ! - da gilt es nur, selber diese Überlegungen zu verstehen und nachzuvollziehen.

Gerade in der Mathematik ist die Autoritätshörigkeit eben nicht etabliert, ganz im Gegensatz zu mancher Geisteswissenschaft.

[Sempre]

Was Du hier machst ist die Gäste H1, H2, usw. in ein zweites Hilbertsches Hotel mit den Zimmernummer ω, ω+1, ω+2, ... auszuquartieren. Bringt uns also nicht weiter!

Außerdem sagst Du, Heinrich II, ω sei eine endliche Zahl.

Ex 20,16.
Ich habe niemals behauptet ω sei eine endliche Zahl.

Doch, tust Du doch gerade eben hier wieder. Du sagst: Was Du hier machst ist die Gäste H1, H2, usw. in ein zweites Hilbertsches Hotel ω, ω+1, ω+2, ... auszuquartieren. Damit willst Du doch gerade sagen, dass ω endlich sei.

Ordinalzahlen sind sowieso keine Zahlen im klassischen Sinne, sondern eine abstrakte Erweiterung des Zahlbegriffes mit Mitteln der Mengentheorie.

Hier sind wir wohl am Knackpunkt unserer Differenzen angekommen.

Du denkst also klassisch wie bis Ende des 19. Jahrhunderts üblich und schiebst Georg Cantor beiseite. Es handele sich (bloß) um eine abstrakte Erweiterung des Zahlbegriffes. Von diesem überholten Standpunkt aus greifst Du den Ausschluss des regressus ad infinitum beim Gottesbeweis aus der Bewegung an.

So richtig klassisch und konkret und nicht abstrakt denkst Du aber auch nicht. Denn wenn alle natürlichen Zahlen endlich wären, dann wären auch alle Dominosteinreihen endlich lang. Was sollte ein konkreter Zahlenbegriff denn sonst anderes bedeuten? Die Länge von Dominosteinreihen wird durch eine natürliche Zahl angegeben, wir haben aber eine besondere Dominosteinreihe (oder mehrere?) deren Länge keine Zahl ist? Wir haben zwar besondere Dominosteinreihen, nicht aber besondere Zahlen? Das ist nicht das klassische Verständnis. Außerdem ist die Rede von unendlich vielen Zahlen, die allesamt endlich seien, offenbar Unfug. Die Zahlen unterscheiden sich ja allesamt. Alle unterschiedlichen endlichen natürlichen Zahlen sind aber evidenterweise endlich viele und nicht unendlich viele. Bei endlichen natürlichen Zahlen entspricht die laufende Nummer der Anzahl an Zahlen bis dorthin. Bleibt die laufende Nummer endlich, dann auch die Anzahl.


Nun bist Du aber andererseits kein Ultrafinitist, sondern erkennst an, dass die Peano-Axiome die natürlichen Zahlen korrekt und konsistent charakterisieren.

Betrachten wir also folgende Zahlenmenge:

1, 2, 3, ... ω, ω+1, ω+2, ...

Wobei ω nach Georg Cantor die kleinste Zahl ist, die größer ist als jede endliche Zahl. Die Anschauung wird keineswegs strapaziert, wenn wir in ω, ω+1, ω+2, ... die zweite Ladung an abzählbar unendlich vielen Gästen in Hilberts Hotel erblicken.

Bitte nicht gleich in die Luft gehen, ω sei gar keine Zahl, das seien nicht die natürlichen Zahlen, das seien vielmehr zwei Hotels, sondern erst weiterlesen.

Betrachten wir nun die Peano-Axiome:

1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
3. 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
5. Enthält X die 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Für die o.g. Zahlenmenge 1, 2, 3, ... ω, ω+1, ω+2, ... gelten alle Peano-Axiome. Folglich handelt es sich um die Menge der natürlichen Zahlen, woraus wiederum folgt:

• ω ist eine natürliche Zahl.
• ω ist voraussetzungsgemäß nicht endlich.
• Die vollständige Induktion erfasst sowohl endliche als auch nicht-endliche Zahlen.

Du könntest Dich nun daran versuchen zu zeigen, dass die o.g. Zahlenmenge nicht den Peano-Axiomen entspreche. David Hilbert drehte sich allerdings im Grabe herum: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. Alternativ könntest Du Dich daran versuchen, zu zeigen, dass aus den Peano-Axiomen folge, dass alle natürlichen Zahlen endlich seien (was trivialerweise unmöglich ist, s.o.: bleibt die laufende Nummer endlich, dann auch die Anzahl.)


P.S.: Ja, es trifft zu, dass man nicht selten und auch auf Wikipedia verwirrenderweise liest, ω sei größer als jede natürliche Zahl. Georg Cantor definiert aber: ω ist größer als jede endliche natürliche Zahl.

[overkott]

....
Das ist Pipi-Langstrumpf-Mathematik: "Ich mach mir die Welt, [theoretisch ist alles möglich] widewide wie..." 0 = 1 ist falsch. Grundschüler wissen das. Autoritätsgläubige Mathematikstudenten verlernen es, wenn Professoren das im Brustton der Überzeugung vortragen.

Da nimm mal den Mund nicht so voll, wenn Du die Gedanken hinter dieser Mathematik nicht verstanden hast.
In diesen Kreisen (in denen ich auch schon fleißig mitdiskutiert habe !) gilt der Brustton der Überzeugung eines Professors keinen fluit ! - da gilt es nur, selber diese Überlegungen zu verstehen und nachzuvollziehen.

Gerade in der Mathematik ist die Autoritätshörigkeit eben nicht etabliert, ganz im Gegensatz zu mancher Geisteswissenschaft.

Worum geht es eigentlich bei dem hilfswissenschaftlichen Gedanken der Mathematik zur Frage des Gottesbeweises? Um den All(es)begriff. Es geht darum, dass in Gott alles eins ist und Gott in allem ist. Wenn ein Mathematiker sagt: "alles + 1 = alles", sprengt er den Allesbegriff, indem er so tut, als gäbe es außerhalb von allem noch etwas, das man allem hinzufügen könnte.

"abzählbar unendlich" ist ein Widerspruch und im Sinne einer Gleichung falsch. Denn unendlich ist eben nicht abzählbar, sondern zahllos. Man kann sich aber die Unendlichkeit differenziert in zahllose Einheiten vorstellen. Dann ist jede Einheit zählbar, aber nicht deren Menge.

[Heinrich II]

@Sempre
Du hast mal wieder nicht richtig gelesen. Natürlich finde ich in
{1,2,3, ... } vereinigt mit {w, w+1, w+2, ... }
die natürlichen Zahlen als echte (!) Teilmenge wieder genauso wie in
{1,2,3, ... } vereinigt mit {pi, pi +1, pi +2, ... }.

Trotzdem ist weder die transfinite Zahl w (lies jeweils w = omega) noch die Kreiszahl pi eine natürliche Zahl.
Das 5. Peano-Axiom spricht ausdrücklich davon, dass dann die natürlichen Zahlen als *Teilmenge* enthalten sind. Das kannst Du ebensowenig pipilangstrumpfmäßig ignorieren wie die Tatsache, dass omega definiert ist als die kleinste Zahl, welche größer als alle natürlichen Zahlen ist. Und damit ist omega *keine natürliche Zahl*.

Frag einfach mal einen Mathematiker Deines Vertrauens, wenn Du Reinhard und mir (aus welchen Gründen auch immer) nicht glaubst.

[Reinhard]

Sempre, Du übergehst einfach Heinrichs und meine Rückfragen zur Sache und schiebst statt dessen neues Gewusel nach !

Bitte beantworte mir zuerst:

...
Die Vollständige Induktion läuft konform den Peano-Axiomen sowohl über endliche als auch über nicht-endliche Zahlen. Das bestreitet Heinrich II, und das bestreitest Du.

Was sind unendliche Zahlen ? .... Mit welchem Recht operierst Du mit dem Unendlichen, als sei es eine natürliche Zahl ?

Weiter:

Betrachten wir also folgende Zahlenmenge:

1, 2, 3, ... ω, ω+1, ω+2, ...

Wobei ω nach Georg Cantor die kleinste Zahl ist, die größer ist als jede endliche Zahl.
....
Betrachten wir nun die Peano-Axiome:

1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
3. 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
5. Enthält X die 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

Für die o.g. Zahlenmenge 1, 2, 3, ... ω, ω+1, ω+2, ... gelten alle Peano-Axiome. Folglich handelt es sich um die Menge der natürlichen Zahlen, woraus wiederum folgt:

• ω ist eine natürliche Zahl.
• ω ist voraussetzungsgemäß nicht endlich.
• Die vollständige Induktion erfasst sowohl endliche als auch nicht-endliche Zahlen.

Das behauptest Du einfach kühn kraft Deiner Vor-Definition, ω sei unendlich !

Ich hatte ausdrücklich darum gebeten, dass Du Deine Annahmen mathematisch exakt angeben mögest. Das tust Du nach wie vor nicht !

Was verstehst Du unter unendlich ? - ich kenne in der Mathematik nur die klassische Unendlichkeitsdefinition:
lim an = ∞        mit ∞ > x     ∀ x ∈ ℕ
n→∞

im Worten:   ∞ überschreitet über alle Grenzen, mit der Folge, dass dieses "Unendlich" nicht greifbar ist !
Daraus folgt auch unmittelbar, dass Dein ω gar nicht unendlich sein kann, denn es ist ja auf jeden Fall kleiner als das von Dir angegebene ω + 1 , überschreitet wenigstens diese Grenze nicht und ist damit lt. Definition nicht unendlich.

MaW: ∞ ist identisch mit 1/0 , bis auf eine Kleinigkeit !   (... die ich hier Dir überlasse, anzugeben)

Welchen Unendlichkeitsbegriff willst Du mir statt dessen anbieten ?

(sorry, da waren noch ein paar Fehler zu korrigieren !)

[Heinrich II]

Fassen wir nochmal zusammen:
1. Die natürlichen Zahlen
N ={1,2,3,...}
haben abzählbar unendlich viele Elemente.
2. Jede natürliche Zahl ist endlich. (Dies ist eine Trivialität, weil ich so eine natürliche Zahl eben als Zahl hinschreiben kann.)
3. Die vollständige Induktion erlaubt Beweise über Aussagen auf N.
4. Ich kann andere Elemente wie pi, omega oder alle reellen Zahlen zu N dazu tun und finde in dieser vereinigten Menge die natürlichen Zahlen als Teilmenge wieder. Dadurch wird aber weder pi, noch omega, noch jede reelle Zahl zu einer natürlichen Zahl.
Für einen solchen Blödsinn Cantor als Kronzeugen benennen zu wollen ist lächerlich.
5. Da der Begriff der Unendlichkeit keine natürliche Zahl ist, scheitert der Versuch per vollständiger Induktion eine Aussage über meine abzählbar unendlich lange Dominosteinreihe herzuleiten bereits im Ansatz.

[Heinrich II]

@ Reinhard
Vorsicht mit "1/0". Das ist ein undefinierter Ausdruck. Wenn wir die zwei Folgen
a_n = 1/n
b_n = - (1/n)
betrachten, so konvergieren beide für n gegen oo gegen 0. Aber der Grenzwert von "1/0" (was man wie oben gesagt nicht schreiben sollte) also von
1/a_n = n
1/b_n = - n
ist im ersten Fall oo und im zweiten Fall - oo.
Hierbei ist Grenzwert - wie Du vollkommen richtig schriebst - hier so zu verstehen, dass die Folge über jede Grenze hinaus wächst (bzw. unter jede Grenze fällt).

Unendlich viele bedeutet, dass man keine Schranke angeben kann.

[Reinhard]

Heinrich, ich weiß das.
Eigentlich schrieb ich das, weil ich sehen wollte, ob Sempre wenigstens diesen Punkt erkennt, und zumindest in so weit verstanden hat, was "unendlich" bedeutet ...

[Sempre]

@Heinrich II
@Reinhard

1. Die Zahl 1 ist endlich.
2. Wenn eine Zahl N endlich ist, dann ist auch die Zahl N+1 endlich.

Per Induktion folgt: Alle Zahlen sind endlich.



Aber:

1. Die endlichen Zahlen von 1 bis 1 sind endlich viele, nämlich 1 Stück.
2. Wenn die endlichen Zahlen von 1 bis N endlich viele sind, nämlich N Stück, dann sind auch die endlichen Zahlen von 1 bis N+1 endlich viele, nämlich N+1 Stück.

Per Induktion folgt: Jede Menge, die nur aus endlichen Zahlen besteht, hat endlich viele Elemente.



Außerdem auch:

1. Eine Dominosteinreihe der Länge 1 ist endlich lang.
2. Wenn eine Dominosteinreihe der Länge N endlich lang ist, dann ist auch eine Dominosteinreihe der Länge N + 1 endlich lang.

Per Induktion folgt: Dominosteinreihen, egal welcher Länge, sind endlich lang.



Fazit: Wenn wir über unendlich lange Dominosteinreihen reden wollen, kommen wir nicht um den Unterschied zwischen Zahl als Index und Zahl als Anzahl herum.

[Protasius]

Welche Anwendung hat diese sich jetzt über mehrere Seiten hinziehende Diskussion über Unendlichkeit und vollständige Induktion jetzt auf den Gottesbeweis?

[Heinrich II]

@Heinrich II
@Reinhard

1. Die Zahl 1 ist endlich.
2. Wenn eine Zahl N endlich ist, dann ist auch die Zahl N+1 endlich.

Per Induktion folgt: Alle Zahlen sind endlich.

Richtig.

1. Die endlichen Zahlen von 1 bis 1 sind endlich viele, nämlich 1 Stück.
2. Wenn die endlichen Zahlen von 1 bis N endlich viele sind, nämlich N Stück, dann sind auch die endlichen Zahlen von 1 bis N+1 endlich viele, nämlich N+1 Stück.

Auch richtig.

Per Induktion folgt: Jede Menge, die nur aus endlichen Zahlen besteht, hat endlich viele Elemente.

Falsch.

Es gibt eben keine obere Schranke für die Anzahl der natürlichen Zahlen. (Wie bereits zigmal von mir formuliert ist jede natürliche Zahl eine Zahl und damit etwas endliches.)

Wo der Fehler in Deiner Induktion liegt, habe ich auch schon mehrfach beschrieben.

[Heinrich II]

Welche Anwendung hat diese sich jetzt über mehrere Seiten hinziehende Diskussion über Unendlichkeit und vollständige Induktion jetzt auf den Gottesbeweis?

Wir waren ausgegangen von folgendem "Gottesbeweis"

(1) Alles was bewegt ist, wird von einem Anderem bewegt.
(1a) Durch die Sinne aber ist klar, dass etwas [in der Welt] bewegt ist, wie bspw. die Sonne.
(2) Also ist es durch ein Anderes bewegt.
(3) Alles ist entweder bewegt und wird von einem Anderen bewegt oder ist nicht bewegt und wird nicht von einem Anderen bewegt.
(4) Wenn es nicht bewegt ist, dann gibt es etwas Unbewegtes.
(5) Wenn es bewegt ist, dann ist es von einem Anderen bewegt.
(6) Entweder geht Bewegung ins Unendliche oder es gibt etwas, das nicht bewegt ist.
(7) Bewegung geht nicht ins Unendliche.
c.1 Es gibt etwas Unbewegtes.
(8) Das Unbewegte ist Gott.

Ich hatte darauf hingewiesen, dass die Behauptung (7) unbewiesen ist. Wir können als Menschen die Existenz einer unendlichen Kausalkette nicht mit Mitteln der Logik oder Mathematik ausschliessen.

Sempres wiederholt falsche Anwendung der Mathematik (mit inzwischen immer abenteuerlicheren Argumentationen) - als Versuch (7) per Induktion zu folgern - wird hier von mir und anderen korrigiert.

[Sempre]

1. Die Zahl 1 ist endlich.
2. Wenn eine Zahl N endlich ist, dann ist auch die Zahl N+1 endlich.

Per Induktion folgt: Alle Zahlen sind endlich.

Richtig.

Danke.

Und nun bitte Dein Kommentar hierzu:

1. Eine Dominosteinreihe der Länge 1 ist endlich lang.
2. Wenn eine Dominosteinreihe der Länge N endlich lang ist, dann ist auch eine Dominosteinreihe der Länge N + 1 endlich lang.

Per Induktion folgt: Alle Dominosteinreihen sind endlich lang.

P.S.:

1. Die endlichen Zahlen von 1 bis 1 sind endlich viele, nämlich 1 Stück.
2. Wenn die endlichen Zahlen von 1 bis N endlich viele sind, nämlich N Stück, dann sind auch die endlichen Zahlen von 1 bis N+1 endlich viele, nämlich N+1 Stück.

Auch richtig.

Per Induktion folgt: Jede Menge, die nur aus endlichen Zahlen besteht, hat endlich viele Elemente.

Falsch.

Es gibt eben keine obere Schranke für die Anzahl der natürlichen Zahlen. (Wie bereits zigmal von mir formuliert ist jede natürliche Zahl eine Zahl und damit etwas endliches.)

Wo der Fehler in Deiner Induktion liegt, habe ich auch schon mehrfach beschrieben.

Nein, hast Du nicht. Es gibt keinen Unterschied zwischen den drei Induktionsbeweisen, die ich anführe. Es gibt keinen Grund, einen zu akzeptieren und die anderen nicht.[/size]